Правда ли утверждения: 1) Является ли число корень из 5 комплексным числом? 2) Является ли число а , такое что а^2=-4

1) Чтобы узнать, является ли число корнем из 5 комплексным числом, нужно вычислить его квадратный корень. Корень из 5 можно записать в виде \(\sqrt{5}\). Для того чтобы вычислить его квадратный корень, используем формулу: \(\sqrt{5} = \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{1}\). Здесь \(\sqrt{1}\) равно \(1\). Таким образом, корень из 5 — это \(\pm \sqrt{5}\). Эти значения являются действительными числами, а не комплексными, так как не содержат мнимой единицы \(i\).

2) Чтобы узнать, является ли число "а", такое что \(a^2 = -4\), действительным числом, применим ту же логику. Возведем оба выражения \(a^2\) и \(-4\) в квадрат: \((a^2)^2 = (-4)^2\). Получаем \(a^4 = 16\). Здесь нет мнимой единицы \(i\), поэтому число "а" является действительным числом.

3) Чтобы узнать, является ли число "а", такое что \(a^4 = 1\), действительным числом, применим аналогичный подход. Возведем оба выражения \(a^4\) и \(1\) в квадрат: \((a^4)^2 = 1^2\). Получаем \(a^8 = 1\). Здесь также нет мнимой единицы \(i\), поэтому число "а" является действительным числом.

4) Чтобы разложить многочлен \(x^2 + 4\) на линейные множители с комплексными коэффициентами, решим уравнение \(x^2 + 4 = 0\). Вычтем 4 из обеих сторон: \(x^2 = -4\). Чтобы избавиться от квадрата, возьмем квадратный корень из обеих сторон: \(x = \pm \sqrt{-4}\). Мы знаем, что \(\sqrt{-4}\) равно \(\pm 2i\), где \(i\) — мнимая единица. То есть, многочлен \(x^2 + 4\) можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами в виде \((x + 2i)(x - 2i)\).

5) Чтобы узнать, лежат ли точки плоскости, удовлетворяющие условию \(|z-1|=2\), на окружности радиуса 1, рассмотрим уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом 2. Это уравнение имеет вид \((x-1)^2 + y^2 = 4\). Теперь заменим \(x\) и \(y\) на \(Re(z)\) и \(Im(z)\) соответственно. Получим \((Re(z)-1)^2 + (Im(z))^2 = 4\). Значит, точки, удовлетворяющие условию \(|z-1|=2\), лежат на окружности радиуса 2 с центром в точке (1, 0).

6) Если комплексное число равно своему сопряженному, то это число является действительным числом.

7) Если \(Ż = -z\), то действительная часть \(z\) равна нулю. Давайте докажем это. Представим комплексное число \(z\) в виде \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа. Тогда равенство \(Ż = -z\) можно записать как \(-x - yi = x + yi\). Сгруппируем реальные и мнимые части: \(-x = x\) и \(-y = y\). Отсюда следует, что \(x = 0\) и \(y = 0\). Таким образом, действительная часть \(z\) равна нулю.