Пожалуйста, предоставьте мне обратную версию следующих функций в виде h(x), указав домен определения d. Постройте графики функций f и g на одном графике.
1) f(x) = 2x - 3, d: All real numbers;
2) f(x) = 2x + 1, d: x ≥ 0;
3) f(x) = 1/(x - 2), d: x ≤ 3, x ≠ 2;
4) f(x) = x^2, d: (-∞, 0];
5) f(x) = √(x - 1), d: x > 1;
1) f(x) = 2x - 3, d: All real numbers;
2) f(x) = 2x + 1, d: x ≥ 0;
3) f(x) = 1/(x - 2), d: x ≤ 3, x ≠ 2;
4) f(x) = x^2, d: (-∞, 0];
5) f(x) = √(x - 1), d: x > 1;
Олег_8702
Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку и предоставим подробные объяснения.
1) Функция f(x) = 2x - 3 определена для всех действительных чисел, так как нет никаких ограничений для значения x. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = 2f - 3 относительно f. Начнем с уравнения:
x = 2f - 3
Добавим 3 к обеим сторонам уравнения:
x + 3 = 2f
Теперь разделим обе стороны на 2:
\(\frac{{x + 3}}{2} = f\)
Таким образом, обратная функция h(x) будет равна:
h(x) = \(\frac{{x + 3}}{2}\)
Домен определения для обратной функции h(x) будет таким же, как и у исходной функции f(x), то есть все действительные числа.
2) Функция f(x) = 2x + 1 определена для x ≥ 0. Мы снова решим уравнение x = 2f + 1 относительно f, чтобы найти обратную функцию h(x):
x = 2f + 1
Вычтем 1 из обеих сторон уравнения:
x - 1 = 2f
Разделим обе стороны на 2:
\(\frac{{x - 1}}{2} = f\)
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = \(\frac{{x - 1}}{2}\)
Домен определения для обратной функции h(x) будет x ≥ 0, так как исходная функция f(x) определена только для x ≥ 0.
3) Функция f(x) = 1/(x - 2) определена для x ≤ 3 и x ≠ 2. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = 1/(f - 2) относительно f. Но сначала давайте проверим, что функция f(x) действительно имеет обратную функцию.
Функция f(x) = 1/(x - 2) не проходит тест на горизонтальную линию. Это означает, что она обладает обратной функцией. Если мы переопределим эту функцию, мы получим:
f(x) = y = 1/(x - 2)
Перекрестим x и y:
x = 1/(y - 2)
Теперь решим это уравнение относительно y. Умножим обе стороны на y - 2:
x(y - 2) = 1
Раскроем скобки:
xy - 2x = 1
Прибавим 2x к обеим сторонам уравнения:
xy = 1 + 2x
Перепишем уравнение:
y = \(\frac{{1 + 2x}}{x}\)
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = \(\frac{{1 + 2x}}{x}\)
Домен определения для обратной функции h(x) будет таким же, как и у исходной функции f(x), то есть x ≤ 3 и x ≠ 2.
4) Функция f(x) = x^2 определена для x из промежутка (-∞, 0]. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = (h)^2 относительно h. Выберем положительный корень, так как мы ищем обратную функцию квадратной функции:
x = h^2
Извлекаем корень из обеих сторон уравнения:
√(x) = h
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = √(x)
Домен определения для обратной функции h(x) будет (-∞, 0], так как исходная функция f(x) определена только для x из этого промежутка.
5) Функция f(x) = √(x - 1) определена для x > 1. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = √(h - 1) относительно h. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
x^2 = h - 1
Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
x^2 + 1 = h
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = x^2 + 1
Домен определения для обратной функции h(x) будет x > 1, так как исходная функция f(x) определена только для x > 1.
Теперь давайте построим графики функций f и g на одном графике для каждой из задач.
1) Функция f(x) = 2x - 3 определена для всех действительных чисел, так как нет никаких ограничений для значения x. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = 2f - 3 относительно f. Начнем с уравнения:
x = 2f - 3
Добавим 3 к обеим сторонам уравнения:
x + 3 = 2f
Теперь разделим обе стороны на 2:
\(\frac{{x + 3}}{2} = f\)
Таким образом, обратная функция h(x) будет равна:
h(x) = \(\frac{{x + 3}}{2}\)
Домен определения для обратной функции h(x) будет таким же, как и у исходной функции f(x), то есть все действительные числа.
2) Функция f(x) = 2x + 1 определена для x ≥ 0. Мы снова решим уравнение x = 2f + 1 относительно f, чтобы найти обратную функцию h(x):
x = 2f + 1
Вычтем 1 из обеих сторон уравнения:
x - 1 = 2f
Разделим обе стороны на 2:
\(\frac{{x - 1}}{2} = f\)
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = \(\frac{{x - 1}}{2}\)
Домен определения для обратной функции h(x) будет x ≥ 0, так как исходная функция f(x) определена только для x ≥ 0.
3) Функция f(x) = 1/(x - 2) определена для x ≤ 3 и x ≠ 2. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = 1/(f - 2) относительно f. Но сначала давайте проверим, что функция f(x) действительно имеет обратную функцию.
Функция f(x) = 1/(x - 2) не проходит тест на горизонтальную линию. Это означает, что она обладает обратной функцией. Если мы переопределим эту функцию, мы получим:
f(x) = y = 1/(x - 2)
Перекрестим x и y:
x = 1/(y - 2)
Теперь решим это уравнение относительно y. Умножим обе стороны на y - 2:
x(y - 2) = 1
Раскроем скобки:
xy - 2x = 1
Прибавим 2x к обеим сторонам уравнения:
xy = 1 + 2x
Перепишем уравнение:
y = \(\frac{{1 + 2x}}{x}\)
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = \(\frac{{1 + 2x}}{x}\)
Домен определения для обратной функции h(x) будет таким же, как и у исходной функции f(x), то есть x ≤ 3 и x ≠ 2.
4) Функция f(x) = x^2 определена для x из промежутка (-∞, 0]. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = (h)^2 относительно h. Выберем положительный корень, так как мы ищем обратную функцию квадратной функции:
x = h^2
Извлекаем корень из обеих сторон уравнения:
√(x) = h
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = √(x)
Домен определения для обратной функции h(x) будет (-∞, 0], так как исходная функция f(x) определена только для x из этого промежутка.
5) Функция f(x) = √(x - 1) определена для x > 1. Чтобы найти обратную функцию h(x), мы должны решить уравнение x = √(h - 1) относительно h. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
x^2 = h - 1
Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
x^2 + 1 = h
Таким образом, обратная функция h(x) будет:
h(x) = x^2 + 1
Домен определения для обратной функции h(x) будет x > 1, так как исходная функция f(x) определена только для x > 1.
Теперь давайте построим графики функций f и g на одном графике для каждой из задач.
Знаешь ответ?