пожалуйста. 4.15. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку А (2; 3): а) параллельно оси

4.15.

а) Если прямая параллельна оси Ox, это означает, что ее угловой коэффициент равен нулю. Мы знаем, что угловой коэффициент линии $k$ можно найти по формуле:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Так как прямая параллельна оси Ox, то $y_2$ и $y_1$ будут равными, также как и $x_2$ и $x_1$. Подставляя значения точки А $(2,3)$, получаем:

$$k=\frac{3-3}{2-2}=0$$

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид $y=b$, где $b$ - координата точки А по оси Oy. В данном случае, координата точки А по оси Oy равна 3. Поэтому уравнение прямой будет:

$$y=3$$

б) Если прямая параллельна оси Oy, это означает, что угловой коэффициент не существует. В таком случае, уравнение прямой будет иметь вид $x=a$, где $a$ - координата точки А по оси Ox. В данном случае, координата точки А по оси Ox равна 2. Поэтому уравнение прямой будет:

$$x=2$$

в) Чтобы найти уравнение прямой, которая образует угол 45° с осью Ox, мы знаем, что тангенс угла наклона линии будет равен 1, так как тангенс 45° равен 1. То есть:

$$k=\tan ({45}^{\circ })=1$$

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид $y=kx+b$. Подставляя значения точки А $(2,3)$ и углового коэффициента $k=1$, мы можем найти параметр $b$:

$$3=1\cdot 2+b$$
$$b=3-2=1$$

Таким образом, уравнение прямой будет:

$$y=x+1$$

4.16.

а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки А $(3,1)$ и В $(5,4)$, мы используем формулу для углового коэффициента:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Подставляя значения точек А и В:

$$k=\frac{4-1}{5-3}=\frac{3}{2}$$

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид $y=kx+b$. Подставляя значения точки А $(3,1)$ и углового коэффициента $k=\frac{3}{2}$, мы можем найти параметр $b$:

$$1=\frac{3}{2}\cdot 3+b$$
$$b=1-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$$

Таким образом, уравнение прямой будет:

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$$

б) Если прямая проходит через точки А $(3,1)$ и С $(3,5)$, это означает, что она является вертикальной линией, так как координаты x для обоих точек одинаковы. Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид $x=a$, где $a$ - координата точки А по оси Ox. В данном случае, координата точки А по оси Ox равна 3. Поэтому уравнение прямой будет:

$$x=3$$

в) Если прямая проходит через точки А $(3,1)$ и D $(-4,1)$, это означает, что она является горизонтальной линией, так как координаты y для обоих точек одинаковы. Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид $y=b$, где $b$ - координата точки А по оси Oy. В данном случае, координата точки А по оси Oy равна 1. Поэтому уравнение прямой будет:

$$y=1$$

4.17.

У нас даны уравнения трех сторон треугольника ABC:

$4x+3y-5=0$

$x-3y+10=0$

$x-2=0$

Давайте последовательно найдем координаты вершин треугольника.

Для этого, найдем точку пересечения прямых, соответствующих первой и второй сторонам треугольника. Решим систему из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}4x+3y-5=0\\ x-3y+10=0\end{array}$$

Можно решить эту систему уравнений методом замещения или методом сложения/вычитания уравнений. В этом случае, воспользуемся методом сложения/вычитания:

1) Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 4, чтобы избавиться от коэффициента $y$:

$$\{\begin{array}{l}12x+9y-15=0\\ 4x-12y+40=0\end{array}$$

2) Вычтем второе уравнение из первого:

$$8x+21y-55=0$$

3) Теперь найдем координаты точки, подставив найденное уравнение и уравнение третьей стороны треугольника ( $x-2=0$ ) в первое или второе уравнение:

$$\{\begin{array}{l}8x+21y-55=0\\ x-2=0\end{array}$$

Решим второе уравнение относительно $x$:

$x=2$

Подставим это значение в первое уравнение:

$8\cdot 2+21y-55=0$

$16+21y-55=0$

$21y-39=0$

$21y=39$

$y=\frac{39}{21}$

$y=\frac{13}{7}$

Таким образом, точка пересечения прямых, соответствующих первой и второй сторонам треугольника, имеет координаты $(2,\frac{13}{7})$.

Теперь найдем координаты вершины С, используя уравнение третьей прямой:

$x-2=0$

Подставляя $x=2$, получаем $y=0$, так как $0-2=-2$.

Таким образом, координаты точки С равны $(2,0)$.

Теперь, для нахождения координат точки В, найдем точку пересечения прямых, соответствующих первой и третьей сторонам треугольника. Решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}4x+3y-5=0\\ x-2=0\end{array}$$

Подставив $x=2$ в первое уравнение, получаем:

$4\cdot 2+3y-5=0$

$8+3y-5=0$

$3y=-3$

$y=-1$

Таким образом, координаты точки В равны $(2,-1)$.

Итак, координаты вершин треугольника ABC: А (2; 3), B (2; -1), C (2; 0).