пожалуйста. 4.15. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку А (2; 3): а) параллельно оси

4.15.

а) Если прямая параллельна оси Ox, это означает, что ее угловой коэффициент равен нулю. Мы знаем, что угловой коэффициент линии \(k\) можно найти по формуле:

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Так как прямая параллельна оси Ox, то \(y_2\) и \(y_1\) будут равными, также как и \(x_2\) и \(x_1\). Подставляя значения точки А \((2, 3)\), получаем:

\[k = \frac{{3 - 3}}{{2 - 2}} = 0\]

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид \(y = b\), где \(b\) - координата точки А по оси Oy. В данном случае, координата точки А по оси Oy равна 3. Поэтому уравнение прямой будет:

\[y = 3\]

б) Если прямая параллельна оси Oy, это означает, что угловой коэффициент не существует. В таком случае, уравнение прямой будет иметь вид \(x = a\), где \(a\) - координата точки А по оси Ox. В данном случае, координата точки А по оси Ox равна 2. Поэтому уравнение прямой будет:

\[x = 2\]

в) Чтобы найти уравнение прямой, которая образует угол 45° с осью Ox, мы знаем, что тангенс угла наклона линии будет равен 1, так как тангенс 45° равен 1. То есть:

\[k = \tan(45^\circ) = 1\]

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид \(y = kx + b\). Подставляя значения точки А \((2, 3)\) и углового коэффициента \(k = 1\), мы можем найти параметр \(b\):

\[3 = 1 \cdot 2 + b\]
\[b = 3 -2 = 1\]

Таким образом, уравнение прямой будет:

\[y = x + 1\]

4.16.

а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки А \((3, 1)\) и В \((5, 4)\), мы используем формулу для углового коэффициента:

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Подставляя значения точек А и В:

\[k = \frac{{4 - 1}}{{5 - 3}} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид \(y = kx + b\). Подставляя значения точки А \((3, 1)\) и углового коэффициента \(k = \frac{3}{2}\), мы можем найти параметр \(b\):

\[1 = \frac{3}{2} \cdot 3 + b\]
\[b = 1 - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}\]

Таким образом, уравнение прямой будет:

\[y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2}\]

б) Если прямая проходит через точки А \((3, 1)\) и С \((3, 5)\), это означает, что она является вертикальной линией, так как координаты x для обоих точек одинаковы. Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид \(x = a\), где \(a\) - координата точки А по оси Ox. В данном случае, координата точки А по оси Ox равна 3. Поэтому уравнение прямой будет:

\[x = 3\]

в) Если прямая проходит через точки А \((3, 1)\) и D \((-4, 1)\), это означает, что она является горизонтальной линией, так как координаты y для обоих точек одинаковы. Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид \(y = b\), где \(b\) - координата точки А по оси Oy. В данном случае, координата точки А по оси Oy равна 1. Поэтому уравнение прямой будет:

\[y = 1\]

4.17.

У нас даны уравнения трех сторон треугольника ABC:

\(4x + 3y - 5 = 0\)

\(x - 3y + 10 = 0\)

\(x - 2 = 0\)

Давайте последовательно найдем координаты вершин треугольника.

Для этого, найдем точку пересечения прямых, соответствующих первой и второй сторонам треугольника. Решим систему из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
4x + 3y - 5 = 0 \\
x - 3y + 10 = 0
\end{cases}
\]

Можно решить эту систему уравнений методом замещения или методом сложения/вычитания уравнений. В этом случае, воспользуемся методом сложения/вычитания:

1) Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 4, чтобы избавиться от коэффициента \(y\):

\[
\begin{cases}
12x + 9y - 15 = 0 \\
4x - 12y + 40 = 0
\end{cases}
\]

2) Вычтем второе уравнение из первого:

\[
8x + 21y - 55 = 0
\]

3) Теперь найдем координаты точки, подставив найденное уравнение и уравнение третьей стороны треугольника ( \(x - 2 = 0\) ) в первое или второе уравнение:

\[
\begin{cases}
8x + 21y - 55 = 0 \\
x - 2 = 0
\end{cases}
\]

Решим второе уравнение относительно \(x\):

\(x = 2\)

Подставим это значение в первое уравнение:

\(8 \cdot 2 + 21y - 55 = 0\)

\(16 + 21y - 55 = 0\)

\(21y - 39 = 0\)

\(21y = 39\)

\(y = \frac{39}{21}\)

\(y = \frac{13}{7}\)

Таким образом, точка пересечения прямых, соответствующих первой и второй сторонам треугольника, имеет координаты \(\left(2, \frac{13}{7}\right)\).

Теперь найдем координаты вершины С, используя уравнение третьей прямой:

\(x - 2 = 0\)

Подставляя \(x = 2\), получаем \(y = 0\), так как \(0 - 2 = -2\).

Таким образом, координаты точки С равны \(\left(2, 0\right)\).

Теперь, для нахождения координат точки В, найдем точку пересечения прямых, соответствующих первой и третьей сторонам треугольника. Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
4x + 3y - 5 = 0 \\
x - 2 = 0
\end{cases}
\]

Подставив \(x = 2\) в первое уравнение, получаем:

\(4 \cdot 2 + 3y - 5 = 0\)

\(8 + 3y - 5 = 0\)

\(3y = -3\)

\(y = -1\)

Таким образом, координаты точки В равны \(\left(2, -1\right)\).

Итак, координаты вершин треугольника ABC: А (2; 3), B (2; -1), C (2; 0).