После проведения строительных работ на складе, остался определенный остаток плиток. Можно использовать эти плитки

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть общее количество плиток, которое осталось после строительных работ, равно \(x\).

Тогда мы можем составить уравнение, основываясь на информации из задачи.

Для укладки плиток по 9 штук в ряд, нам не хватает плиток для создания квадратной площадки. Таким образом, общее количество плиток \(x\) должно быть меньше, чем наименьшее квадратное число, большее или равное \(9\). Нам известно, что таким числом будет \(16\) (потому что \(4^2 = 16\) и \(3^2 = 9\)).

Теперь рассмотрим укладку плиток по 7 штук в ряд. Мы знаем, что при такой укладке остается один неполный ряд. Значит, общее количество плиток \(x\) должно быть таким, чтобы при делении на 7 остаток был равен 1.

Наконец, укладка плиток по 8 штук в ряд также приводит к оставшемуся неполному ряду, в котором на 5 штук плиток меньше, чем в неполном ряду при укладке по 7. Это означает, что разница между общим количеством плиток \(x\) и числом, на которое нужно умножить 8 для получения неполного ряда при укладке по 7, должна быть равной 5. Таким числом будет 28.

Теперь мы можем записать систему уравнений, основанную на этих условиях:

\[ \begin{cases} x < 16 \\ x \equiv 1 \mod 7 \\ x - 28 = 5 \times (x/8 - 1) \end{cases} \]

Рассмотрим первое уравнение. Для выполнения условия укладки плиток по 9 штук в ряд, мы должны удостовериться, что общее количество плиток \(x\) меньше 16.

Получим второе уравнение. Условием остатка 1 при делении на 7 мы учитываем оставшийся неполный ряд при укладке плиток по 7 штук в ряд.

Третье уравнение учитывает разницу в количестве плиток в неполных рядах при укладке по 8 и 7.

Теперь решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения мы получаем \(x < 16\).

Из второго уравнения мы получаем, что \(x = 7k + 1\), где \(k\) - некоторое целое число.

Подставим это значение \(x\) в третье уравнение и решим уравнение относительно \(k\):

\[ 7k+1 - 28 = 5((7k+1)/8 - 1) \]

После некоторых алгебраических преобразований мы получим:

\[ k = 17 \]

Теперь мы можем найти значение \(x\):

\[ x = 7k + 1 = 7 \times 17 + 1 = 120 \]

Итак, после завершения строительства на складе осталось 120 плиток.