Пользуясь информацией, что косинус x равен 10/13 и x находится в пределах от 3π/2 до 2π, найдите значение выражения

Для решения этой задачи нам понадобится знание основ косинусной функции и её свойств. Дано, что косинус \(x\) равен \(10/13\) и \(x\) находится в пределах от \(3\pi/2\) до \(2\pi\). Мы должны найти значение выражения \(\cos(2x)\).

Для начала, давайте вспомним формулу двойного угла для косинуса:
\[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
\]

У нас уже есть значение \(\cos(x)\), но чтобы использовать формулу, нам нужно найти значение \(\sin(x)\). Для этого мы можем использовать тождество Пифагора:
\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]

Зная, что \(\cos(x) = 10/13\), мы можем найти \(\sin(x)\):
\[
\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}
\]
\[
\sin(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{10}{13}\right)^2}
\]
\[
\sin(x) = \sqrt{1 - \dfrac{100}{169}}
\]
\[
\sin(x) = \sqrt{\dfrac{169}{169} - \dfrac{100}{169}}
\]
\[
\sin(x) = \sqrt{\dfrac{69}{169}}
\]
\[
\sin(x) = \dfrac{\sqrt{69}}{13}
\]

Теперь у нас есть значения \(\cos(x)\) и \(\sin(x)\), и мы можем найти \(\cos(2x)\) с использованием формулы для двойного угла:
\[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
\]
\[
\cos(2x) = \left(\dfrac{10}{13}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{69}}{13}\right)^2
\]
\[
\cos(2x) = \dfrac{100}{169} - \dfrac{69}{169}
\]
\[
\cos(2x) = \dfrac{31}{169}
\]

Таким образом, значение выражения \(\cos(2x)\) равно \(31/169\).

Мы использовали информацию о значении косинуса \(x\) и применили формулу для двойного угла, чтобы найти значение \(\cos(2x)\). Все шаги были подробно объяснены, и мы использовали соответствующие формулы и свойства косинуса, чтобы получить ответ.