Покажите, что векторы ac, bd и a1b1 лежат в одной плоскости

Чтобы показать, что векторы \(\overrightarrow{ac}\), \(\overrightarrow{bd}\) и \(\overrightarrow{a_1 b_1}\) лежат в одной плоскости, нам нужно показать, что они коллинеарны или линейно зависимы.

Давайте рассмотрим векторный тройник \(\overrightarrow{ac}\), \(\overrightarrow{bd}\) и \(\overrightarrow{a_1 b_1}\). Если векторы лежат в одной плоскости, то мы можем представить один из векторов в виде линейной комбинации двух других векторов.

То есть, если мы можем представить \(\overrightarrow{a_1 b_1}\) как комбинацию \(\overrightarrow{ac}\) и \(\overrightarrow{bd}\), это будет означать, что все эти векторы находятся в одной плоскости.

Чтобы найти такое представление, мы можем воспользоваться свойством векторного произведения. Векторное произведение двух векторов d1 и d2 равно нулю, если и только если эти векторы коллинеарны или линейно зависимы.

В нашем случае, если \(\overrightarrow{ac}\times\overrightarrow{bd} = 0\), то векторы коллинеарны, и следовательно, они лежат в одной плоскости.

Пусть:
\(\overrightarrow{ac} = (x_1, y_1, z_1)\)
\(\overrightarrow{bd} = (x_2, y_2, z_2)\)
\(\overrightarrow{a_1 b_1} = (x_3, y_3, z_3)\)

Тогда выражение для векторного произведения будет:
\[
\overrightarrow{ac}\times\overrightarrow{bd} = (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1)
\]

Если мы получим нулевой вектор при вычислении векторного произведения, то это означает, что векторы лежат в одной плоскости.

Теперь, если мы хотим найти, является ли \(\overrightarrow{a_1 b_1}\) линейной комбинацией \(\overrightarrow{ac}\) и \(\overrightarrow{bd}\), мы можем решить следующее уравнение:
\[
\overrightarrow{a_1 b_1} = k_1\overrightarrow{ac} + k_2\overrightarrow{bd}
\]

где \(k_1\) и \(k_2\) - коэффициенты линейной комбинации.

Раскрывая это уравнение по координатам, мы получим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x_3 = k_1x_1 + k_2x_2 \\
y_3 = k_1y_1 + k_2y_2 \\
z_3 = k_1z_1 + k_2z_2
\end{cases}
\]

Если эта система уравнений имеет решение, то векторы \(\overrightarrow{ac}\), \(\overrightarrow{bd}\) и \(\overrightarrow{a_1 b_1}\) лежат в одной плоскости. Если же система уравнений не имеет решения, то векторы не лежат в одной плоскости.

Таким образом, чтобы показать, что векторы \(\overrightarrow{ac}\), \(\overrightarrow{bd}\) и \(\overrightarrow{a_1 b_1}\) лежат в одной плоскости, мы должны убедиться, что векторное произведение \(\overrightarrow{ac}\times\overrightarrow{bd} = 0\) и система уравнений
\[
\begin{cases}
x_3 = k_1x_1 + k_2x_2 \\
y_3 = k_1y_1 + k_2y_2 \\
z_3 = k_1z_1 + k_2z_2
\end{cases}
\]
имеет решение для некоторых значений \(k_1\) и \(k_2\).