Покажите, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 6 см, если периметр треугольника ABC равен 5 см и периметр

Хорошо, давайте по порядку решим эту задачу.

1. Сначала выведем неравенства для каждого из треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP с использованием сторон, которые являются также сторонами шестиугольника:

Для треугольника PAK: PK < PA + AK
Для треугольника KDL: KL < LD + DK
Для треугольника LBM: LM < MB + BM
Для треугольника MEN: MN < NE + EM
Для треугольника NCR: NR < RC + CR
Для треугольника RFP: RP < FP + PF

2. Теперь сложим левые и правые стороны каждого из этих неравенств:

Для треугольника PAK: PK + PK < PA + AK + PK
Для треугольника KDL: KL + KL < LD + DK + KL
Для треугольника LBM: LM + LM < MB + BM + LM
Для треугольника MEN: MN + MN < NE + EM + MN
Для треугольника NCR: NR + NR < RC + CR + NR
Для треугольника RFP: RP + RP < FP + PF + RP

3. Теперь сгруппируем стороны шестиугольника по противоположным треугольникам:

PK + RP = PKRP
KL + NM = KLMN
LM + NR = LMNR
MN + PA = MNPA
NR + KL = NRKL
RP + LM = RPLM

4. Заменим промежуточные выражения в грамотных неравенствах:

PK + PK = 2PK
KL + KL = 2KL
LM + LM = 2LM
MN + MN = 2MN
NR + NR = 2NR
RP + RP = 2RP

5. Теперь добавим промежуточные выражения в грамотные неравенства:

2PK < PA + AK + PK
2KL < LD + DK + KL
2LM < MB + BM + LM
2MN < NE + EM + MN
2NR < RC + CR + NR
2RP < FP + PF + RP

6. Подставим известные значения периметров треугольников ABC и DEF:

2PK < 5
2KL < 7
2LM < 7
2MN < 5
2NR < 7
2RP < 5

7. Для полученных неравенств заметим, что левая сторона всегда меньше правой стороны, так как сумма сторон каждого треугольника всегда больше его периметра. Поэтому мы можем заключить, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 6 (см), так как все его стороны меньше 7 (см).

Таким образом, мы доказали, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 6 (см), исходя из условия задачи.