Покажіть, що діагональ в прямокутному паралелепіпеді перпендикулярна до кожного бокового ребра

Щоб довести, що діагональ прямокутного паралелепіпеда перпендикулярна до кожного бокового ребра, ми спочатку розглянемо властивості прямокутного паралелепіпеда та його діагоналі.

Прямокутний паралелепіпед - це просторове тіло з шістьма прямокутними гранями. У такого паралелепіпеда всі протилежні грані рівні та паралельні, і кожна протилежна пара ребер паралельна. Кожна з ребер паралелепіпеда є стороною прямокутника, і протилежні бокові ребра рівні. Також, важливою властивістю є те, що у паралелепіпедів протилежні прямокутники граней взаємно рівні і сума іхніх площ однакова.

Діагональ прямокутного паралелепіпеда - це пряма лінія, яка з"єднує дві протилежні вершини паралелепіпеда. Існує три діагоналі: одна простягається вздовж довшої грани та одна вздовж шириною грани, а третя проходить вздовж висоти паралелепіпеда. Таким чином, кожна діагональ перетинає точно два бокових ребра паралелепіпеда.

Щоб довести, що діагональ перпендикулярна до кожного бокового ребра, розглянемо одну з цих діагоналей, наприклад, ту, яка проходить вздовж довшої грани. Для початку позначимо вершини паралелепіпеда так: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) (звідси його назва, AB являє собою одну з діагоналей).

Тепер розглянемо два бокових ребра, котрі перетинаються вздовж діагоналі \(AB\), наприклад, ребра \(AE\) і \(BH\). Вектори цих ребер можна позначити як \(\vec{AE}\) і \(\vec{BH}\).

Це рівняння для ребра \(AE\):

\(\vec{AE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A}\)

Аналогічно:

\(\vec{BH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{B}\)

Тепер, щоб довести, що діагональ \(AB\) перпендикулярна до кожного бокового ребра, ми маємо показати, що скалярний добуток векторів \(\vec{AE}\) і \(\vec{BH}\) дорівнює нулю.

Для цього можемо записати наступне рівняння (враховуючи, що скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модулів векторів та косинусу кута між ними):

\(\vec{AE} \cdot \vec{BH} = |\vec{AE}| \cdot |\vec{BH}| \cdot \cos(\theta)\)

Оскільки ребра \(AE\) і \(BH\) лежать на паралельних площинах, їхній кут \(\theta\) дорівнює 90 градусів (плоскості є паралельними, коли їхні нормальні вектори перпендикулярні). Тому можемо записати:

\(\cos(\theta) = \cos(90^\circ) = 0\)

Таким чином, отримуємо:

\(\vec{AE} \cdot \vec{BH} = |\vec{AE}| \cdot |\vec{BH}| \cdot 0 = 0\)

Отже, скалярний добуток векторів \(\vec{AE}\) і \(\vec{BH}\) дорівнює нулю, що означає, що ці вектори є перпендикулярними. А вектори, відповідні ребрам \(AE\) і \(BH\), являються відповідними шаром прямокутного паралелепіпеда.

Таким чином, ми показали, що діагональ \(AB\) прямокутного паралелепіпеда перпендикулярна до кожного бокового ребра, у тому числі і до ребер \(AE\) і \(BH\). Це вірно для всіх діагоналей прямокутного паралелепіпеда, оскільки усі вони з"єднують протилежні вершини та перетинають по два бокових ребра.

Якщо виникли будь-які додаткові питання, будь ласка, звертайтесь!