Подтвердите, что площадь регулярного четырехугольника кратна произведению радиусов вписанной и описанной окружностей

Для начала нужно разобраться, как связаны площадь регулярного четырехугольника, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и угол между ними.

Рассмотрим регулярный четырехугольник ABCD. Пусть радиус вписанной окружности равен \(r\), радиус описанной окружности равен \(R\), а угол между радиусами вписанной и описанной окружностей равен \(\alpha\).

Теперь построим окружности: вписанную и описанную. Радиус вписанной окружности проведен к точке касания стороны четырехугольника. Радиус описанной окружности проведен к вершине четырехугольника.

Очевидно, что треугольник, образованный радиусом вписанной окружности и двумя сторонами четырехугольника, является равнобедренным, так как два радиуса равны и угол при основании равен \(\angle CAD = \alpha\).

Площадь равнобедренного треугольника \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin{\alpha}\).

Теперь найдем площадь четырехугольника. Он состоит из четырех равнобедренных треугольников и является суммой площадей этих треугольников.

Площадь четырехугольника \(S_{\text{четырехугольника}} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin{\alpha} = 2 \cdot r^2 \cdot \sin{\alpha}\).

Теперь найдем произведение радиусов вписанной и описанной окружностей, умноженное на \(\cos{\alpha}\). Это очевидно равно \(r \cdot R \cdot \cos{\alpha}\).

Подтвердим, что площадь четырехугольника кратна произведению радиусов вписанной и описанной окружностей, умноженному на \(\cos{\alpha}\):
\[2 \cdot r^2 \cdot \sin{\alpha} = r \cdot R \cdot \cos{\alpha}\].

Таким образом, мы показали, что площадь регулярного четырехугольника действительно кратна произведению радиусов вписанной и описанной окружностей, умноженному на \(\cos{\alpha}\).