Подтвердите, что для любого натурального значения n выполняется следующее уравнение: 1 + 4 + 7 + ... + (3n-2

Конечно! Давайте пошагово решим данную задачу.

Для начала давайте рассмотрим сумму первых n нечетных чисел. Заметим, что каждое нечетное число можно представить в виде \(2k + 1\), где k - некоторое натуральное число. Теперь, чтобы получить следующее нечетное число, мы должны добавить к предыдущему число 2. Таким образом, первое нечетное число равно 1, второе - 1 + 2 = 3, третье - 3 + 2 = 5 и так далее.

Теперь посмотрим на сумму первых n нечетных чисел. Обозначим эту сумму через S_n. Она будет выглядеть следующим образом:

\[S_n = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)\]

Теперь попробуем выразить эту сумму более компактным способом. Заметим, что каждый член суммы можно представить в виде \(2k + 1 = 2k + 2 - 1 = 2(k + 1) - 1\). Таким образом, сумма S_n может быть переписана следующим образом:

\[S_n = (2 \cdot 1 - 1) + (2 \cdot 2 - 1) + \ldots + (2 \cdot n -1) = 2 \cdot (1 + 2 + \ldots + n) - n\]

Теперь нам нужно найти сумму первых n натуральных чисел, которую мы обозначим как S"_n:

\[S"_n = 1 + 2 + \ldots + n\]

Известно, что сумма первых n натуральных чисел равна \(S"_n = \frac{{n \cdot (n + 1)}}{2}\).

Таким образом, выражая нашу исходную сумму через сумму первых n натуральных чисел, получаем:

\[S_n = 2 \cdot S"_n - n = 2 \cdot \frac{{n \cdot (n + 1)}}{2} - n = n \cdot (n + 1) - n = n^2 + n - n = n^2\]

Таким образом, мы показали, что для любого натурального значения n выполняется следующее равенство:

\[1 + 4 + 7 + \ldots + (3n - 2) = n^2\]

Но мы можем пойти еще дальше и подтвердить более точное выражение для данной суммы. Раскрывая \(n^2\), получаем:

\[n^2 = n \cdot n = n(3n-3+1) = n(3n-2)\]

Таким образом, наше равенство принимает следующий вид:

\[1 + 4 + 7 + \ldots + (3n - 2) = n(3n-2)\]

Что и требовалось доказать.