Подробно решить уравнение, записанное в виде lg(2x)+lg(x+3)=lg(12x-4

Конечно! Давайте решим данное уравнение пошагово.

Исходное уравнение:
\[lg(2x) + lg(x+3) = lg(12x-4)\]

Шаг 1: Применим свойства логарифмов. У нас есть два свойства, которые будем использовать.
Свойство 1: \(\lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b)\)
Свойство 2: \(\lg(a) = \lg(b) \Rightarrow a = b\)

Шаг 2: Применим свойство 1 к уравнению, чтобы объединить логарифмы в один подлогарифмический выражение.
\(\lg(2x) + \lg(x+3) = \lg(12x-4)\)
\(\lg((2x)(x+3)) = \lg(12x-4)\)
\((2x)(x+3) = 12x-4\)

Шаг 3: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
\(2x^2 + 6x = 12x - 4\)
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\(2x^2 + 6x - 12x + 4 = 0\)
\(2x^2 - 6x + 4 = 0\)

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратную формулу \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.
В нашем случае, \(a = 2\), \(b = -6\) и \(c = 4\).
Применяя формулу, получаем:
\(x = \frac{{-(-6) \pm \sqrt{{(-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}}}{{2 \cdot 2}}\)
\(x = \frac{{6 \pm \sqrt{{36 - 32}}}}{{4}}\)
\(x = \frac{{6 \pm \sqrt{{4}}}}{{4}}\)

Шаг 5: Выполним вычисления в числителе под знаком радикала.
\(x = \frac{{6 \pm \sqrt{{4}}}}{{4}}\)
\(x = \frac{{6 \pm 2}}{{4}}\)

Шаг 6: Получим два возможных значения \(x\), подставив различные знаки \(\pm\).
Для \(\frac{{6 + 2}}{{4}}\) получаем \(x = \frac{8}{4} = 2\).
Для \(\frac{{6 - 2}}{{4}}\) получаем \(x = \frac{4}{4} = 1\).

Ответ: уравнение \(lg(2x) + lg(x+3) = lg(12x-4)\) имеет два корня: \(x = 2\) и \(x = 1\).