Подпункт б) из задачи 16 ЕГЭ профильного уровня звучит следующим образом: В прямоугольном треугольнике ABC точки M

Для данной задачи нам нужно рассмотреть треугольники AML и BLC и доказать их подобие, а затем найти отношение площадей этих треугольников.

а) Доказательство подобия треугольников AML и BLC:

Поскольку точки M и N являются серединами сторон прямоугольного треугольника ABC, то по теореме о трёх серединах треугольник *AML* является медиантой треугольника *ABC* и делит его напополам. Аналогично, треугольник *BLC* также является медиантой треугольника *ABC*.

Так как биссектриса угла BAC делит угол BAC на два равных угла, из теоремы о сходящихся прямых мы получаем, что прямая, проходящая через точку L, параллельна гипотенузе AC прямоугольного треугольника *ABC*.

Из этого следует, что углы *AML* и *BLC* равны (так как это соответственные углы) и углы *ALM* и *CLB* также равны (как вертикальные углы).

Таким образом, по признаку углов треугольники *AML* и *BLC* подобны.

б) Нахождение отношения площадей треугольников:

Площадь треугольника можно выразить через формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, \(C\) - угол между этими сторонами.

Так как треугольники *AML* и *BLC* подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Из косинуса угла BAC мы можем найти синус этого угла: \(\sin BAC = \sqrt{1 - \cos^2 BAC} = \frac{24}{25}\).

Теперь можем найти отношение площадей треугольников:

\[\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = \left(\frac{AM}{BL}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\].

Ответ: Отношение площадей треугольников *AML* и *BLC* равно \(1:4\).