Подпишусь, поблагодарю и выберу самый лучший ответ. Точки A(−5;13;3) и B(−3;9;−1) симметричны относительно точки

Решение:

а) Чтобы найти координаты точки \(M_1\) при параллельном перемещении точки \(M\) по вектору, нам нужно сложить координаты точки \(M\) и вектора параллельного перемещения. Используем формулу:
\[M_1 = M + \vec{v}\]
где \(\vec{v}\) - вектор параллельного перемещения.

Для нахождения \(\vec{v}\) вычислим разность координат точек \(A\) и \(B\):
\[\vec{v} = \overrightarrow{AB} = B - A\]
\[\vec{v} = (-3;9;-1) - (-5;13;3) = (2;-4;-4)\]

Подставим значения в формулу:
\[M_1 = (-5;13;3) + (2;-4;-4) = (-3;9;-1)\]

Ответ: координаты точки \(M_1\) при параллельном перемещении точки \(M\) по вектору равны (-3;9;-1).

б) Чтобы найти координаты вектора, симметричного вектору относительно оси Oz, нам нужно изменить знак координаты z вектора.

Получившийся вектор будет иметь вид: \(\vec{v} = (x;y;-z)\)

Ответ: координаты вектора, симметричного вектору относительно оси Oz, будут иметь вид \((x;y;-z)\).

в) Чтобы найти координаты точки \(M_3\), симметричной точке \(M_2\) относительно плоскости Oxy, нам нужно изменить знак координаты z точки \(M_2\).

Исходя из предыдущего задания, координаты точки \(M_2\) равны \((-3;9;-1)\).

Получившиеся координаты точки \(M_3\) будут иметь вид: \((-3;9;1)\).

Ответ: координаты точки \(M_3\) симметричной точке \(M_2\) относительно плоскости Oxy равны \((-3;9;1)\).

г) Для нахождения скалярного произведения векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) в трехмерном пространстве, используем формулу:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z\]

В данном случае мы имеем два вектора \(\vec{u} = (-3;9;-1)\) и \(\vec{v} = (2;-4;-4)\).

Подставим значения в формулу:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3) \cdot 2 + 9 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-4) = -6 + (-36) + 4 = -38\)

Ответ: cкалярное произведение векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) равно \(-38\).

д) Уравнение сферы с диаметром, заданного двумя точками \(A\) и \(B\), можно записать следующим образом:
\[(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\]
где \((h, k, l)\) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Мы знаем, что точки \(A\) и \(B\) являются диаметрально противоположными точками сферы, поэтому между ними есть радиус, равный половине длины диаметра.

Длина диаметра можно найти, используя расстояние между точками формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставим значения координат точек \(A\) и \(B\) в формулу:
\[d = \sqrt{(-3 - (-5))^2 + (9 - 13)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48}\]

Радиус сферы равен половине длины диаметра: \(r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{48}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).

Координаты центра сферы можно найти, используя середину отрезка между точками \(A\) и \(B\):
\[h = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad k = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad l = \frac{z_1 + z_2}{2}\]

Подставим значения координат точек \(A\) и \(B\) в формулу:
\[h = \frac{(-5) + (-3)}{2}, \quad k = \frac{13 + 9}{2}, \quad l = \frac{3 + (-1)}{2}\]
\[h = \frac{-8}{2}, \quad k = \frac{22}{2}, \quad l = \frac{2}{2}\]
\[h = -4, \quad k = 11, \quad l = 1\]

Ответ: уравнение сферы с диаметром, заданным точками \(A\) и \(B\), будет иметь вид:
\[(x + 4)^2 + (y - 11)^2 + (z - 1)^2 = (2\sqrt{3})^2\]