Под какими значениями R треугольный забор может быть построен вокруг трех вертикальных цистерн таким образом, чтобы

Для решения задачи, начнем с построения схемы треугольного забора вокруг трех вертикальных цистерн. Представим каждую цистерну как точку в координатной плоскости. Пусть точки A, B и C представляют цистерны, а стороны треугольника обозначим как AB, BC и CA.

Так как условия требуют, чтобы каждая цистерна касалась двух сторон забора, будем считать, что стороны забора являются касательными к окружностям вокруг каждой цистерны.

Рассмотрим первую цистерну A с координатами (x1, y1).

Чтобы сторона забора AB касалась двух цистерн, центр окружности, проходящей через точки A и B, должен лежать на перпендикуляре, проведенном к AB в его середине. То же самое условие должно выполняться для двух оставшихся цистерн.

Пусть точка P1(x,y) - центр окружности, проходящей через A и B. Следовательно, координаты P1 можно найти как середину отрезка AB. Помним, что AB представляет сторону забора, поэтому мы можем заменить значения x1 и y1 на x и y, чтобы обозначить координаты P1.

Теперь, чтобы сторона забора BC также касалась двух цистерн, центр окружности, проходящей через B и C, должен также находиться на перпендикуляре, проведенном к BC в его середине. Найдем координаты центра P2(x,y) как середину отрезка BC.

Аналогично, найдем координаты центра P3(x,y) окружности, проходящей через C и A.

Таким образом, у нас есть система уравнений, состоящая из перпендикулярности и радиуса окружностей:

Перпендикулярность:
- Уравнение перпендикуляра: \(k_1 \cdot k_2 = -1\), где \(k_1\) и \(k_2\) - коэффициенты наклона прямых AB и BP1 соответственно.
- Аналогично, используя коэффициенты наклона прямых BC и BP2, мы можем записать \(k_2 \cdot k_3 = -1\), и \(k_1 \cdot k_3 = -1\) для BP3 и CA.

Радиус окружностей:
- Расстояние между центром и точкой A: \(r_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}\).
- Аналогично, для остальных двух цистерн, можно записать: \(r_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}\) и \(r_3 = \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2}\).

Теперь, объединим все условия в одну систему уравнений и решим ее:
\[{
\begin{align*}
k_1 \cdot k_2 &= -1 \\
k_2 \cdot k_3 &= -1 \\
k_1 \cdot k_3 &= -1 \\
r_1 &= r \\
r_2 &= r \\
r_3 &= r \\
\end{align*}
}\]

где \(r\) - радиус окружностей, соответствующий сторонам забора.

Решение этой системы уравнений позволит нам найти радиус \(r\) треугольного забора, который удовлетворяет всем условиям задачи.

Таким образом, треугольный забор может быть построен вокруг трех вертикальных цистерн, когда радиус окружностей сторон забора будет равен решению системы уравнений:

\[{
\begin{align*}
k_1 \cdot k_2 &= -1 \\
k_2 \cdot k_3 &= -1 \\
k_1 \cdot k_3 &= -1 \\
\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} &= \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} \\
\sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} &= \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2} \\
\sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2} &= \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} \\
\end{align*}
}\]

После решения этой системы уравнений, мы найдем значения радиуса \(r\), при которых можно построить треугольный забор вокруг трех вертикальных цистерн.