Под каким углом α курс катера должен быть установлен, чтобы угол между траекторией катера и берегом составлял 90°?

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобится принцип векторного сложения скоростей. Для начала, давайте построим координатную систему, где одна ось будет направлена вдоль берега реки, а другая ось будет направлена перпендикулярно берегу. Пусть ось \(x\) будет направлена вдоль берега, а ось \(y\) - перпендикулярно берегу.

Теперь давайте заметим, что скорость катера относительно земли является векторной суммой скорости катера относительно течения и скорости течения самой реки. Обозначим эту скорость как \(\vec{V}\).

По условию задачи, скорость катера относительно течения составляет \(υ_{\text{катера}} = 8 \, \text{м/с}\), а скорость течения составляет \(υ_{\text{течения}} = 4 \, \text{м/с}\).

Тогда по принципу векторного сложения скоростей, мы можем записать:

\(\vec{V} = \vec{υ}_{\text{катера}} + \vec{υ}_{\text{течения}}\)

где \(\vec{υ}_{\text{катера}}\) указывает вдоль оси \(x\), а \(\vec{υ}_{\text{течения}}\) указывает перпендикулярно оси \(x\) (т.е. вдоль оси \(y\)).

Теперь, чтобы угол между траекторией катера и берегом составлял 90°, вектор скорости катера \(\vec{V}\) должен быть направлен перпендикулярно к берегу, т.е. должен быть направлен вдоль оси \(y\).

Исходя из этого, мы можем записать:

\(\vec{V} = υ \sin(α)\hat{i} + υ \cos(α)\hat{j}\)

где \(α\) - угол между курсом катера и осью \(x\), \(υ\) - скорость катера относительно земли, \(\hat{i}\) и \(\hat{j}\) - единичные векторы, указывающие вдоль осей \(x\) и \(y\) соответственно.

Поскольку вектор \(\vec{V}\) направлен вдоль оси \(y\), он должен быть равен только \(υ \cos(α)\hat{j}\), и компонента вдоль оси \(x\) должна быть равна нулю.

Таким образом, у нас имеется условие:

\(υ \sin(α) = 0\)

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи. Мы хотим найти время, за которое катер преодолеет реку шириной \(L = 230 \, \text{м}\). Для этого мы можем использовать закон движения:

\(t = \frac{S}{υ}\)

где \(t\) - время, \(S\) - расстояние, \(υ\) - скорость катера.

В данном случае, расстояние, которое катер должен пройти, равно ширине реки \(L = 230 \, \text{м}\), а скорость катера относительно земли равна \(υ = 8 \, \text{м/с}\).

Тогда мы можем записать:

\(t = \frac{L}{υ}\)

Подставим значения:

\(t = \frac{230}{8} \approx 28.75 \, \text{с}\)

Округлим до целого числа:

\(t \approx 29 \, \text{с}\)

Итак, мы получили, что угол курса катера должен быть \(α = 0°\) (параллельно берегу) и время, за которое катер преодолеет реку шириной \(L = 230 \, \text{м}\), составляет около \(29\) секунд.