Побудуйте паралелепіпед з чотирикутником авсda1b1c1 і позначте точку м на ребрі ав так, що відношення ам до мв дорівнює

Спершу давайте побудуємо паралелепіпед з чотирикутником \(авсdа1b1с1\) та позначимо точку \(м\) на ребрі \(ав\), так що відношення \(ам\) до \(мв\) дорівнює 1:3.

1. Почнемо зі спрощеного набору координат для чотирикутника \(авсdа1b1с1\). За зручність оберемо такий набір координат: \(а(0,0,0)\), \(в(8,0,0)\), \(с(8,8,0)\), \(d(0,8,0)\), \(а1(0,0,4)\), \(b1(8,0,4)\), \(с1(8,8,4)\) \(\) та \(d1(0,8,4)\).

Зауважимо, що ось тут ми застосували правило: перші дві цифри \(х\) і \(у\) дають довжину прямокутника \(ав\), а третя цифра \(z\) дає висоту.

2. Знайдемо координати точки \(м\), такі, щоб відношення \(ам\) до \(мв\) дорівнювало 1:3.

Оскільки \(ам : мв = 1:3\), то можна встановити рівняння:

\(\frac{ам}{мв} = \frac{1}{3}\)

Знаючи, що \(ап\) дорівнює 1 і \(мв\) дорівнює 3, ми можемо представити координати точки \(м\) як \((1, 0, z)\), де \(z\) - невідома висота точки \(м\) над площиною \(авс\).

Оскільки відрізок \(ам\) знаходиться на прямій між точками \(а\) і \(м\), ми можемо скласти аналогічне співвідношення для координат:

\(\frac{х_1 - х}{х - х_0} = \frac{y_1 - y}{y - y_0} = \frac{z_1 - z}{z - z_0} = \frac{1}{3}\), де \((x_0, y_0, z_0)\) - координати точки \(а\), а \((x_1, y_1, z_1)\) - координати точки \(м\).

Підставимо відомі координати:

\(\frac{8 - x}{1 - 0} = \frac{0 - y}{0 - 0} = \frac{z_1 - z}{z - 0} = \frac{1}{3}\)

Враховуючи, що \(y = 0\) і \(z_1 - z = \frac{1}{3}(z - 0)\), отримаємо:

\(\frac{8 - x}{1} = \frac{0}{0} = \frac{1}{3}\)

Звідси можна знайти \(x\):

\(8 - x = \frac{1}{3}\)

\(x = 8 - \frac{1}{3}\)

\(x = \frac{23}{3}\)

Таким чином, координати точки \(м\) будуть \(\left(\frac{23}{3}, 0, z\right)\).

3. Тепер ми можемо побудувати проекцію трикутника \(мвс1\) на площину \(авс\) у напрямі \(dd1\).

Для цього просто з"єднаємо точку \(в\) з точкою \(с1\), точку \(м\) з точкою \(с1\) та точку \(в\) з точкою \(м\), що утворить проекцію на площині \(авс\).

4. Обчислимо площу проекції трикутника \(мвс1\), знаючи, що довжина ребра \(ав\) становить 8 см.

Для цього розділимо проектований трикутник \(мвс1\) на два прямокутні трикутники \(мвс1\) та \(авс1\).
Знайдемо довжину \(вс1\) з теореми Піфагора:

\(\overline{вс1} = \sqrt{(8 - \frac{23}{3})^2 + 8^2}\)

Оскільки \(вс становить одну сторону прямокутного трикутника, то площа прямокутного трикутника дорівнює \(S = \frac{1}{2} \cdot \overline{вс} \cdot \overline{в1с1}\). Знайдемо кожну довжину з відомих координат.

\(\overline{вс} = \sqrt{(8 - \frac{23}{3})^2 + 8^2}\)

\(\overline{в1с1} = \sqrt{(8 - \frac{23}{3})^2 + (8 - 4)^2}\)

Підставимо ці величини у формулу площі прямокутного трикутника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(8 - \frac{23}{3})^2 + 8^2} \cdot \sqrt{(8 - \frac{23}{3})^2 + (8 - 4)^2}\)

Обчислімо це значення за допомогою калькулятора для точних результатів або закономірності Ruca.

Отримаємо значення площі проекції трикутника \(мвс1\) на площину \(авс\).