Побудуйте графіки двох лінійних рівнянь 3x+y=8 і x+2y=1 в одній координатній площині й знайдіть точку перетину

Хорошо! Давайте начнем с построения графиков двух линейных уравнений: \(3x+y=8\) и \(x+2y=1\) в одной координатной плоскости.

Для построения графиков этих уравнений, давайте сначала представим каждое уравнение в виде уравнения прямой: \(y = -3x +8\) и \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

Для начала, построим график уравнения \(y = -3x +8\). Для этого мы можем выбрать несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\), чтобы построить несколько точек и провести прямую через них.

Давайте выберем значения \(x = 0, 1\) и \(2\) и найдем соответствующие значения \(y\).

Когда \(x = 0\), \(y = -3(0) +8 = 8\).

Когда \(x = 1\), \(y = -3(1) +8 = 5\).

Когда \(x = 2\), \(y = -3(2) +8 = 2\).

Построив точки (0, 8), (1, 5) и (2, 2), мы можем провести прямую через них. Вот как это выглядит на графике:

\[
\begin{array}{cc}
y = -3x + 8 & \text{(красная линия)} \\
\end{array}
\]

Теперь давайте построим график уравнения \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). Снова выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\).

Когда \(x = 0\), \(y = -\frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Когда \(x = 1\), \(y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2} = 0\).

Когда \(x = 2\), \(y = -\frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\).

Построив точки (0, 0.5), (1, 0) и (2, -0.5), мы можем провести прямую через них. Вот как это выглядит на графике:

\[
\begin{array}{cc}
y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} & \text{(синяя линия)} \\
\end{array}
\]

Теперь давайте найдем точку пересечения этих двух прямых. Мы видим, что эти две прямые пересекаются в точке \((2, 2)\).

Теперь давайте проверим, является ли эта точка решением обоих уравнений. Подставим \(x = 2\) и \(y = 2\) в каждое уравнение и проверим, сходятся ли значения:

Для уравнения \(3x+y=8\):

\[3(2) + 2 = 6 + 2 = 8,\]

Для уравнения \(x+2y=1\):

\[2 + 2(2) = 2 + 4 = 6.\]

Мы видим, что значения сходятся, значит точка \((2, 2)\) является решением обоих уравнений.

Таким образом, графики двух линейных уравнений \(3x+y=8\) и \(x+2y=1\) пересекаются в точке \((2, 2)\), которая является решением обоих уравнений.