Плоскость α, проходящая перпендикулярно стороне AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке

Решение:

а) Чтобы доказать, что отрезок EF параллелен стороне BC, мы можем использовать теорему о параллельных прямых. Согласно этой теореме, если плоскость α пересекает две параллельные прямые, то все линии, лежащие в этой плоскости и пересекающие одну из этих прямых, также параллельны другой прямой.

Исходя из условия задачи, плоскость α проходит перпендикулярно стороне AC прямоугольного треугольника ABC и пересекает сторону AC в точке E и гипотенузу AB в точке F. Таким образом, мы имеем параллельные прямые AC и EF, и, согласно теореме, отрезок EF параллелен стороне BC.

б) Чтобы доказать подобие треугольников ∆AEF и ∆ACB, мы должны показать, что у них соответствующие углы равны.

Рассмотрим угол A. Он содержится в треугольниках ∆AEF и ∆ACB, так как точка E лежит на стороне AC, а точка F лежит на гипотенузе AB. Так как плоскость α перпендикулярна стороне AC, то угол A является прямым углом в обоих треугольниках.

Таким образом, угол A в треугольниках ∆AEF и ∆ACB равны.

Для доказательства подобия треугольников необходимо проверить равенство еще двух углов. Углы EAF и CAB должны быть равны.

Угол EAF содержится в треугольнике ∆AEF и образуется между прямыми AE и AF, которые являются пересечениями плоскости α с сторонами AC и AB соответственно. Плоскость α пересекает прямые AE и AC, а также AF и AB. Плоскость α пересекает эти прямые под прямыми углами, так как перпендикулярна стороне AC. Таким образом, угол EAF в треугольнике ∆AEF равен углу CAB в треугольнике ∆ACB.

Таким образом, углы EAF и CAB равны, и мы доказали подобие треугольников ∆AEF и ∆ACB.

в) Чтобы найти длину отрезка EF, мы должны использовать данные о соотношении длин сторон AE и EC и длины стороны BC.

Из условия задачи известно, что соотношение AE : EC равно 3 : 4. Пусть x - длина отрезка AE, тогда длина отрезка EC будет 4x.

Из подобия треугольников ∆AEF и ∆ACB мы можем использовать соотношение сторон, чтобы найти длину отрезка EF. Поскольку стороны EF и AC в этих треугольниках соответственны, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{EF}{AC} = \frac{AE}{AB}\]

Так как сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, длина стороны AB равна длине стороны BC.

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{EF}{AC} = \frac{x}{x + x} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы нашли соотношение длины отрезка EF к длине стороны AC.

Из условия задачи также известно, что длина стороны BC равна 13.

Мы можем использовать найденное соотношение, чтобы найти длину отрезка EF:

\[\frac{EF}{AC} = \frac{1}{2}\]

Заменяя длину стороны AC значением 13, получаем:

\[\frac{EF}{13} = \frac{1}{2}\]

Умножая обе части равенства на 13, получаем:

\[EF = \frac{13}{2} = 6.5\]

Таким образом, длина отрезка EF равна 6.5.