Підтвердіть, що коли дві дуги кола мають однакову довжину, то й хорди, які стягують ці дуги, також рівні

Добро пожаловать! Чтобы понять, почему колышки и стянутые ими хорды имеют одинаковую длину, давайте рассмотрим некоторые свойства окружности.

Свойство 1: Диаметр - самая длинная хорда в окружности, которая проходит через ее центр.

Свойство 2: Любая хорда, которая параллельна диаметру, разбивает окружность на две равные дуги.

Теперь давайте предположим, что у нас есть две дуги окружности с одинаковой длиной. Обозначим их как \( \stackrel{\frown}{AB} \) и \( \stackrel{\frown}{CD} \).

Для каждой из этих дуг мы можем нарисовать стягивающую хорду. Пусть первая хорда будет \( AB \), а вторая - \( CD \).

Теперь рассмотрим следующий случай:

- Если хорды \( AB \) и \( CD \) являются диаметрами окружности, то они будут одновременно равны длине окружности и друг другу.

- Если хорды \( AB \) и \( CD \) параллельны диаметру окружности, то, согласно свойству 2, они разбивают окружность на две равные дуги. Поскольку дуги имеют одинаковую длину, хорды тоже будут иметь одинаковую длину.

- Если хорды \( AB \) и \( CD \) не являются диаметрами, и не параллельны диаметру окружности, то мы можем провести следующие рассуждения:
- Выберем точку \( P \) на дуге \( \stackrel{\frown}{AB} \).
- Проведем хорду \( PR \), где точка \( R \) принадлежит \( \stackrel{\frown}{CD} \). Здесь мы учитываем тот факт, что дуги имеют одинаковую длину.
- Так как треугольники \( ABR \) и \( CDR \) являются двумя прямоугольными треугольниками (так как радиуси перпендикулярны к хордам, проведенным из центра окружности), и у них общий катет \( PR \), то по теореме Пифагора у них будут равные гипотенузы. Следовательно, хорды \( AB \) и \( CD \) будут иметь одинаковую длину.

Таким образом, мы показали, что если две дуги окружности имеют одинаковую длину, то стягивающие их хорды также будут иметь одинаковую длину.