Під якими найменшими кутами може стояти драбина, притулена до гладкої вертикальної стіни, якщо коефіцієнт тертя

Чтобы решить эту задачу, мы можем применить понятие равновесия. Когда драбина находится в равновесии, сумма сил, действующих на нее, равна нулю.

Пусть \(\theta\) - угол, под которым драбина наклонена к горизонту. Тогда, когда драбина в равновесии, вертикальная составляющая силы тяжести равна горизонтальной составляющей силы трения.

Сила тяжести, действующая на драбину, \(F_{тяжести} = mg\cos{\theta}\), где \(m\) - масса драбины, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Сила трения, действующая на драбину, \(F_{трения} = mg\sin{\theta}\cdot u\), где \(u\) - коэффициент трения между драбиной и полом.

В равновесии сумма сил равна нулю, поэтому:

\[mg\cos{\theta} = mg\sin{\theta}\cdot u\]

Поскольку масса драбины \(m\) со сокращается с обеих сторон, уравнение можно упростить до:

\[\cos{\theta} = \sin{\theta}\cdot u\]

Теперь мы можем решить это уравнение для \(\theta\).

Разделяя \(\cos{\theta}\) на обеих сторонах уравнения, получаем:

\[\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}} = u\]

Используя тригонометрическую тождество \(\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\), получаем:

\[\tan{\theta} = u\]

Теперь найдем наименьшие углы, под которыми может стоять драбина, используя значения коэффициента трения \(u\).

Например, если \(u = 0.5\), имеем:

\[\tan{\theta} = 0.5\]

Возьмем арктангенс от обеих сторон уравнения:

\[\theta = \arctan{0.5}\]

Подставляя эту формулу в калькулятор, получаем, что угол \(\theta \approx 26.57^\circ\).

Таким образом, драбина может стоять под углом примерно \(26.57^\circ\) или менее, в зависимости от значения коэффициента трения \(u\).