Периметр треугольника, вписанного в данную трапецию, где одно основание равно 45 см, а другое равно 55 см и не лежит

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые особенности вписанного треугольника в трапецию.

Внимательно рассмотрите заданную трапецию. Внутри нее находится треугольник, как будто вписанный между параллельными основаниями трапеции. Обратите внимание, что каждая сторона треугольника касается одной из оснований трапеции в одной точке.

Давайте условно назовем верхнее основание трапеции \(AB\), а нижнее основание - \(CD\).

Мы знаем, что одно основание трапеции равно 45 см, а другое основание равно 55 см. Очевидно, что это должно быть значение какой-то стороны треугольника, так как треугольник вписан между основаниями трапеции. Пусть это будет сторона треугольника \(BC\).

Возьмем второй сегмент основания трапеции \(AD\). Давайте отметим точку \(E\), где этот сегмент пересекает сторону треугольника \(BC\). Также отметим точку \(F\), где другой сегмент основания трапеции \(AB\) касается стороны треугольника \(BC\).

Теперь у нас есть два инцидентных отрезка: отрезок \(BE\) и \(CF\). Эти два отрезка граничат с треугольником \(BCE\), который является прямоугольным треугольником, так как сторона \(BC\) касается основания трапеции \(AB\) в одной точке и перпендикулярна к этому основанию.

Поскольку треугольник \(BCE\) - прямоугольный, можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону \(BE\). Так как она соответствует разности оснований трапеции, получаем:

\[BE = AB - CD = 55 \, \text{см} - 45 \, \text{см} = 10 \, \text{см}\]

Теперь мы имеем информацию о двух сторонах треугольника: \(BC = 10 \, \text{см}\) и \(BE = 10 \, \text{см}\). Мы также знаем, что треугольник вписан в трапецию, поэтому сторона \(BC\) касается основания \(AB\) и \(AD\) в одной точке. Это означает, что эта сторона равна сумме оснований трапеции:

\[BC = AB + CD = 55 \, \text{см} + 45 \, \text{см} = 100 \, \text{см}\]

Теперь у нас есть значение всех трех сторон треугольника: \(BC = 100 \, \text{см}\), \(BE = 10 \, \text{см}\) и \(CE = 10 \, \text{см}\). Мы можем найти периметр треугольника, просто сложив длины всех его сторон:

\[ \text{Периметр треугольника} = BC + BE + CE = 100 \, \text{см} + 10 \, \text{см} + 10 \, \text{см} = 120 \, \text{см}\]

Итак, периметр треугольника, вписанного в данную трапецию, составляет 120 сантиметров.