Перезаписать комплексное число, у которого действительная и мнимая части равны соответственно: 1) -0,5 и √5; 2) ¼

Задача 1:
Чтобы перезаписать комплексное число, которое имеет действительную и мнимую части, равные -0,5 и √5 соответственно, мы можем записать его в виде a+bi, где a и b - действительные числа.

1) Для данного случая,

действительная часть a = -0,5
мнимая часть b = √5

Таким образом, комплексное число можно записать как -0,5 + √5i.

Вычисление модуля числа:
Модуль комплексного числа - это его абсолютное значение (длина вектора, заданного числом на комплексной плоскости).

Для данного числа -0,5 + √5i, чтобы вычислить его модуль, мы используем формулу |z| = √(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

Модуль данного числа:
|z| = √((-0,5)^2 + (√5)^2)
|z| = √(0,25 + 5)
|z| = √(5,25)
|z| ≈ 2,29

Теперь давайте построим данное комплексное число на комплексной плоскости.
Действительная часть -0,5 соответствует горизонтальной оси, а мнимая часть √5 соответствует вертикальной оси.

Получается, что данное комплексное число на комплексной плоскости будет лежать примерно в правой нижней части плоскости.

2) Для второго случая,

действительная часть a = 1/4
мнимая часть b = -1

Таким образом, комплексное число можно записать как 1/4 - i.

Вычисление модуля числа:
|z| = √((1/4)^2 + (-1)^2)
|z| = √(1/16 + 1)
|z| = √(17/16)
|z| ≈ 1,30

Теперь давайте построим данное комплексное число на комплексной плоскости.
Действительная часть 1/4 соответствует горизонтальной оси, а мнимая часть -1 соответствует вертикальной оси.

Получается, что данное комплексное число на комплексной плоскости будет лежать примерно в левой нижней части плоскости.

Арифметические операции с числами -7+2i и 5 - 4i:
Сложение: (-7 + 2i) + (5 - 4i) = -7 + 5 + 2i - 4i = -2 - 2i
Вычитание: (-7 + 2i) - (5 - 4i) = -7 - 5 + 2i + 4i = -12 + 6i
Умножение: (-7 + 2i) * (5 - 4i) = -7 * 5 + 7 * (-4i) + 2i * 5 + 2i * (-4i) = -35 - 28i + 10i - 8i^2 = -35 - 28i + 10i + 8 = -27 - 18i
Деление: \(\frac{-7+2i}{5-4i}\)

Теперь рассмотрим вычисления:
(2+3i)^2 - ((2 -3i)^2)

Подставляем значения:
(2+3i)^2 - ((2 -3i)^2)
= (4 + 12i + 9i^2) - ((4 - 12i + 9i^2))

Учитывая i^2 = -1, продолжаем:
= (4 + 12i - 9) - ((4 - 12i - 9))
= (4 + 12i - 9) - (4 - 12i + 9)
= (12i - 5) - (-12i + 13)
= 12i - 5 + 12i - 13
= 24i - 18

Теперь рассмотрим вычисления:
(3+4i)^2 + (3 - 4i)^2

Подставляем значения:
(3+4i)^2 + (3 - 4i)^2
= (9 + 24i + 16i^2) + (9 - 24i + 16i^2)

Учитывая i^2 = -1, продолжаем:
= (9 + 24i - 16) + (9 - 24i - 16)
= (24i - 7) + (-24i - 7)
= 24i - 7 - 24i - 7
= -14 - 14
= -28

Теперь разложим на множители выражения:

z^2 -2z +10:
Данное выражение является квадратным трехчленом.

По формуле разности квадратов, это выражение можно представить в виде a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Подставим значения:
z^2 -2z +10 = (z - (1 + 3i))(z - (1 - 3i))

4z^2 + 8z + 5:
Это также является квадратным трехчленом.

Мы можем представить его в виде произведения двух линейных множителей, используя формулу разложения на множители квадратного трехчлена:

ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q), где m, n, p, q - коэффициенты.

Подставим значения:
4z^2 + 8z + 5 = (2z + 1)(2z + 5)

Теперь запишем числа в тригонометрической форме:

-2i: 3:
Для этого мы должны найти модуль числа и аргумент числа.

Модуль числа -2i равен |z| = √(0^2 + (-2)^2) = √4 = 2.

Аргумент числа -2i можно найти, используя формулу аргумента: arg(z) = arctan(b/a), где a и b - действительная и мнимая части соответственно.

В данном случае a = 0, b = -2, поэтому arg(z) = arctan(-2/0) = -π/2.

Таким образом, число -2i в тригонометрической форме будет записано как 2cis(-π/2).

√3 - i:
Модуль числа √3 - i можно найти, используя формулу модуля: |z| = √(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

В данном случае a = √3, b = -1, поэтому |z| = √(√3^2 + (-1)^2) = √(3 + 1) = √4 = 2.

Аргумент числа √3 - i можно найти, используя формулу аргумента: arg(z) = arctan(b/a), где a и b - действительная и мнимая части соответственно.

В данном случае a = √3, b = -1, поэтому arg(z) = arctan(-1/√3) = -π/6.

Таким образом, число √3 - i в тригонометрической форме будет записано как 2cis(-π/6).

-√3:
Модуль числа -√3 можно найти, используя формулу модуля: |z| = √(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

В данном случае a = -√3, b = 0, поэтому |z| = √((-√3)^2 + 0^2) = √(3) = √3.

Аргумент числа -√3 можно найти, используя формулу аргумента: arg(z) = arctan(b/a), где a и b - действительная и мнимая части соответственно.

В данном случае a = -√3, b = 0, поэтому arg(z) = arctan(0/(-√3)) = 0.

Таким образом, число -√3 в тригонометрической форме будет записано как √3cis(0).

Надеюсь, что данный ответ был полезен и понятен для вас!