Переведите следующие выражения в вид периодической дроби, записав результат: 1) 2/3 + 1 5/9 + (-8/9) ; 2) 2 7/9

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Чтобы перевести выражение в вид периодической дроби, мы должны сложить все дроби и смешанные числа, а затем привести результат к виду периодической дроби. Итак, давайте начнем:

Сначала сложим дроби:
\[\frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{-8}{9}\]

Для сложения этих дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет наименьшее общее кратное знаменателей, которые равны 3, 5 и 9. Найдем это число:

Наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 9 равно 45.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:
\[\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{30}{45}\]
\[\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{9}{45}\]
\[\frac{-8}{9} = \frac{-8 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{-40}{45}\]

Теперь сложим эти дроби:
\[\frac{30}{45} + \frac{9}{45} + \frac{-40}{45} = \frac{30 + 9 - 40}{45} = \frac{-1}{45}\]

Итак, получаем следующую сумму:
\[\frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{-8}{9} = \frac{-1}{45}\]

Теперь остается конвертировать эту дробь в периодическую десятичную дробь. Мы знаем, что периодическая десятичная дробь \(\frac{a}{b}\) может быть записана как \(\frac{a}{b} = n + \frac{c}{d}\), где \(n\) - целая часть, а \(\frac{c}{d}\) - периодическая дробь.

В данном случае, у нас только числитель равен -1, и знаменатель равен 45, поэтому данная дробь не может быть приведена к виду периодической дроби. Таким образом, ответ на первое выражение равен \(\frac{-1}{45}\).

2) Перейдем ко второму выражению:
\[2 \frac{7}{9} + (-1 \frac{2}{3}) + \frac{5}{9}\]

Для начала, приведем смешанные числа к неправильным дробям:
\[2 \frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}\]
\[-1 \frac{2}{3} = \frac{-1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{-1}{3}\]
\[\frac{5}{9}\]

Теперь сложим эти дроби:
\[\frac{25}{9} + \frac{-1}{3} + \frac{5}{9} = \frac{25 \cdot 3 + (-1) \cdot 9 + 5}{9 \cdot 3} = \frac{75 - 9 + 5}{27} = \frac{71}{27}\]

Итак, получаем следующую сумму:
\[2 \frac{7}{9} + (-1 \frac{2}{3}) + \frac{5}{9} = \frac{71}{27}\]

Теперь переведем эту дробь в периодическую десятичную дробь. Для этого разделим числитель на знаменатель:
\[\frac{71}{27} \approx 2.629629...\]

Таким образом, ответ на второе выражение равен \(2.629629...\), что является периодической десятичной дробью.

3) Перейдем к третьему выражению:
\[3 \frac{2}{3} + (-1 \frac{1}{9}) + \frac{7}{9}\]

Приведем смешанные числа к неправильным дробям:
\[3 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}\]
\[-1 \frac{1}{9} = \frac{-1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{-8}{9}\]
\[\frac{7}{9}\]

Теперь сложим эти дроби:
\[\frac{11}{3} + \frac{-8}{9} + \frac{7}{9} = \frac{11 \cdot 9 + (-8) \cdot 3 + 7}{3 \cdot 9} = \frac{99 - 24 + 7}{27} = \frac{82}{27}\]

Итак, получаем следующую сумму:
\[3 \frac{2}{3} + (-1 \frac{1}{9}) + \frac{7}{9} = \frac{82}{27}\]

Теперь переведем эту дробь в периодическую десятичную дробь. Делим числитель на знаменатель:
\[\frac{82}{27} \approx 3.037037...\]

Таким образом, ответ на третье выражение равен \(3.037037...\), что является периодической десятичной дробью.