Перепишите трехзначное число, после чего вместо разрядов первой и второй цифры вставьте цифру N. Это приводит

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Пусть исходное трехзначное число будет представлено в виде \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) это цифры числа. Тогда, если мы заменим первую и вторую цифры на цифру \(N\), получим четырехзначное число \(\overline{NcN}\).

Мы знаем, что это новое четырехзначное число больше исходного числа в 11 раз. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[\overline{NcN} = 11 \times \overline{abc}\]

Теперь давайте разберемся с этим уравнением.

У нас есть информация, что исходное число не делится на 100. То есть, у числа \(\overline{abc}\) последняя цифра \(c\) не равна нулю. Поэтому, новая цифра \(N\) также не может быть равной нулю, так как это привело бы к делению на 100 нового числа \(\overline{NcN}\). Итак, мы можем сделать вывод, что \(N\) не равно нулю.

Теперь, рассмотрим уравнение \(\overline{NcN} = 11 \times \overline{abc}\). Разложим это уравнение на цифры:

\[100N + 10c + N = 11 \times (100a + 10b + c)\]
\[101N + 10c = 110a + 11b + 11c\]
\[101N - 11c = 110a + 11b\]

Так как числа на левой и правой сторонах уравнения делятся на 11, то и разность \(101N - 11c\) также должна делиться на 11. Итак, мы можем выразить \(101N - 11c\) в виде \(11 \times k\), где \(k\) это некоторое целое число.

\[101N - 11c = 11 \times k\]
\[101N = 11c + 11 \times k\]
\[101N = 11(c + k)\]

Теперь мы видим, что 101 является простым числом, поэтому \(N\) должно быть равно 1, а \(c + k\) должно быть равно 9.

\[N = 1\]
\[c + k = 9\]

Поскольку \(c\) и \(k\) должны быть цифрами, удовлетворяющими условию, единственным возможным значением для них является \(c = 8\) и \(k = 1\).

Итак, мы получили, что \(N = 1\), \(c = 8\) и \(k = 1\). Подставляя эти значения обратно в исходное трехзначное число, мы получаем искомое число:

\[\overline{abc} = \overline{18c} = 189\]

Таким образом, исходное число равно 189.