Перепишите дроби в таком виде, чтобы знаменатель был произведением двух последовательных натуральных чисел, выразите

Для начала перепишем каждую из дробей в виде, где знаменатель будет произведением двух последовательных натуральных чисел:

\[ \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2} \]
\[ \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} \]
\[ \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4} \]
\[ \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5} \]
\[ \frac{1}{30} = \frac{1}{5 \cdot 6} \]
\[ \frac{1}{42} = \frac{1}{6 \cdot 7} \]

Теперь выразим каждую из переписанных дробей в виде разности двух других дробей. Для этого возьмём дроби с знаменателями, которые отличаются на 1.

\[ \frac{1}{1 \cdot 2} = \left(\frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) \]
\[ \frac{1}{2 \cdot 3} = \left(\frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) \]
\[ \frac{1}{3 \cdot 4} = \left(\frac{1}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}\right) \]
\[ \frac{1}{4 \cdot 5} = \left(\frac{1}{5 \cdot 5} - \frac{1}{5}\right) = \left(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}\right) \]
\[ \frac{1}{5 \cdot 6} = \left(\frac{1}{6 \cdot 6} - \frac{1}{6}\right) = \left(\frac{1}{36} - \frac{1}{6}\right) \]
\[ \frac{1}{6 \cdot 7} = \left(\frac{1}{7 \cdot 7} - \frac{1}{7}\right) = \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{7}\right) \]

И наконец, найдём сумму всех разностей:

\[ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{36} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{7}\right) \]

Чтобы упростить эту сумму, разложим каждую из разностей на простые дроби:

\[ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} \]
\[ \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} = -\frac{2}{9} \]
\[ \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} - \frac{4}{16} = -\frac{3}{16} \]
\[ \left(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{25} - \frac{5}{25} = -\frac{4}{25} \]
\[ \left(\frac{1}{36} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{36} - \frac{6}{36} = -\frac{5}{36} \]
\[ \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{7}\right) = \frac{1}{49} - \frac{7}{49} = -\frac{6}{49} \]

Теперь сложим все полученные разности:

\[ -\frac{1}{4} + -\frac{2}{9} + -\frac{3}{16} + -\frac{4}{25} + -\frac{5}{36} + -\frac{6}{49} \]

Для удобства, найдём наименьшее общее кратное для всех знаменателей и приведём все дроби к общему знаменателю:

\[ -\frac{1 \cdot 4950}{4 \cdot 4950} + -\frac{2 \cdot 550}{9 \cdot 550} + -\frac{3 \cdot 308}{16 \cdot 308} + -\frac{4 \cdot 198}{25 \cdot 198} + -\frac{5 \cdot 175}{36 \cdot 175} + -\frac{6 \cdot 98}{49 \cdot 98} \]

Теперь сложим числители и оставим общий знаменатель:

\[ \frac{-4950 + -1100 + -924 + -792 + -875 + -588}{4 \cdot 4950} \]

\[ \frac{-8259}{19800} \]

Таким образом, сумма всех переписанных дробей равна \(-\frac{8259}{19800}\).