Перефразируя, следует найти площадь поверхности сферы, которая вписана в правильную пирамиду с апофемой м и углом

Для нахождения площади поверхности сферы, вписанной в правильную пирамиду, нам понадобится выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды "h".
Из задачи известно, что апофема пирамиды равна "м" (15 см) и угол между основанием пирамиды и плоскостью "альфа" равен 60 градусов.

Для начала, чертим пирамиду и рассматриваем треугольник, образованный апофемой, радиусом сферы и высотой пирамиды.
По определению пирамиды, апофема является высотой боковой грани, вписанной в правильную пирамиду.
Треугольник, образованный ими, является прямоугольным треугольником.

С использованием тригонометрических соотношений, мы можем найти высоту пирамиды "h". В данном случае мы знаем гипотенузу ("м") и один угол ("альфа"), поэтому нам понадобится синус угла.

\(\sin(\alpha) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)
\(\sin(60^\circ) = \frac{{h}}{{15}}\)

Из этого уравнения можно найти высоту пирамиды "h":
\(h = 15 \cdot \sin(60^\circ)\)

Шаг 2: Найдем площадь поверхности сферы.
Площадь поверхности сферы можно найти по формуле:
\(S = 4\pi r^2\),
где "r" - радиус сферы.

Так как сфера вписана в пирамиду, ее радиус будет равен половине высоты пирамиды, т.е.
\(r = \frac{{h}}{2}\)

Теперь, поставим все значения и найдем площадь поверхности сферы:
\(S = 4\pi \left(\frac{{h}}{2}\right)^2\)

Подставляем значение "h", которое найдено на предыдущем шаге:
\(S = 4\pi \left(\frac{{15 \cdot \sin(60^\circ)}}{2}\right)^2\)

Теперь можем рассчитать численное значение площади поверхности сферы.