Передайте число 1/9 в виде бесконечной десятичной дроби. Как представить число 4 в виде бесконечной десятичной дроби?

Конечно! Давайте начнем с задачи о передаче числа $\frac{1}{9}$ в виде бесконечной десятичной дроби.

Чтобы представить это число в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем воспользоваться методом деления с остатком. Давайте разделим 1 на 9:

$$\begin{array}{ccccccc}9& 1& .& & & & \end{array}$$

Поскольку 9 не вмещается в 1, запишем в ответе целую часть и приведем дробь к более удобному виду, умножив числитель и знаменатель на 10:

$$\begin{array}{ccccccc}9& 1& .& & & & \\ & & & 1& 0& & \\ & 0& .& 1& 1& 1& \dots \end{array}$$

Теперь 9 вмещается в 10. Запишем новую цифру в ответе и продолжим процесс:

$$\begin{array}{ccccccc}9& 1& .& 1& & & \\ & & & 1& 0& & \\ & 0& .& 1& 1& 1& \dots \\ & & -& 9& & & \\ & & & & 1& 0& \end{array}$$

Повторим деление:

$$\begin{array}{ccccccc}9& 1& .& 1& 1& & \\ & & & 1& 0& 0& \\ & 0& .& 1& 1& 1& \dots \\ & & -& 9& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & -9& & \\ & & & & & 10& \end{array}$$

И так далее. Мы видим, что вся последовательность после запятой будет повторяться бесконечно: $0.1111\dots$

Теперь перейдем к представлению числа 4 в виде бесконечной десятичной дроби.

Чтобы представить 4 в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем записать его целую часть 4 и после запятой поставить бесконечную последовательность нулей: $4.0000\dots$.

В некоторых случаях, когда длина последовательности нулей бесконечна, ее записывают с помощью знака многоточия, чтобы показать, что она продолжается бесконечно. В данном случае мы знаем, что десятичная дробь 4.0000... будет именно такой.

Наконец, перейдем к представлению числа -3,25 в виде бесконечной десятичной дроби.

Чтобы представить -3,25 в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем записать его целую часть -3, а после запятой записать бесконечную последовательность девяток, поскольку нам следует округлить 25 до 30 и далее делить на 9:

$$-3.29999\dots$$

Округление до 30 происходит потому, что 3 ближе к 0, чем к 10, следовательно, мы округляем 5 до 0.

Наконец, перейдем к задаче о представлении числа 1 в виде бесконечной десятичной дроби, если это целое число $\frac{1}{3}$.

Чтобы представить $\frac{1}{3}$ в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем применить метод деления с остатком. Давайте разделим 1 на 3:

$$\begin{array}{ccccccc}3& 1& .& & & & \end{array}$$

Поскольку 3 не вмещается в 1, запишем в ответе ноль и приведем дробь к другому виду, умножив числитель и знаменатель на 10:

$$\begin{array}{ccccccc}3& 1& .& & & & \\ & & & 1& 0& & \\ & 0& .& 3& 3& 3& \dots \end{array}$$

Теперь 3 вмещается в 10. Запишем новую цифру в ответе и продолжим процесс:

$$\begin{array}{ccccccc}3& 1& .& 3& 3& 3& \dots \\ & & & 9& & & \\ & 0& .& 3& 3& 3& \dots \\ & & -& 9& & & \\ & & & & 1& 0& \end{array}$$

И так далее. Мы видим, что последовательность после запятой будет повторяться бесконечно: $0.3333\dots$

Таким образом, описанные бесконечные десятичные дроби представляют числа $\frac{1}{9}$, 4, -3.25 и $\frac{1}{3}$ соответственно.