Передайте число 1/9 в виде бесконечной десятичной дроби. Как представить число 4 в виде бесконечной десятичной дроби?

Конечно! Давайте начнем с задачи о передаче числа \( \frac{1}{9} \) в виде бесконечной десятичной дроби.

Чтобы представить это число в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем воспользоваться методом деления с остатком. Давайте разделим 1 на 9:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
9 & 1 & . & & & & \\
\end{array}
\]

Поскольку 9 не вмещается в 1, запишем в ответе целую часть и приведем дробь к более удобному виду, умножив числитель и знаменатель на 10:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
9 & 1 & . & & & & \\
& & & 1 & 0 & & \\
\hline
& 0 & . & 1 & 1 & 1 & \ldots \\
\end{array}
\]

Теперь 9 вмещается в 10. Запишем новую цифру в ответе и продолжим процесс:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
9 & 1 & . & 1 & & & \\
& & & 1 & 0 & & \\
\hline
& 0 & . & 1 & 1 & 1 & \ldots \\
& & - & 9 & & & \\
\hline
& & & & 1 & 0 & \\
\end{array}
\]

Повторим деление:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
9 & 1 & . & 1 & 1 & & \\
& & & 1 & 0 & 0 & \\
\hline
& 0 & . & 1 & 1 & 1 & \ldots \\
& & - & 9 & & & \\
\hline
& & & & 1 & & \\
& & & & -9 & & \\
\hline
& & & & & 10 & \\
\end{array}
\]

И так далее. Мы видим, что вся последовательность после запятой будет повторяться бесконечно: \(0.1111\ldots\)

Теперь перейдем к представлению числа 4 в виде бесконечной десятичной дроби.

Чтобы представить 4 в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем записать его целую часть 4 и после запятой поставить бесконечную последовательность нулей: \(4.0000\ldots\).

В некоторых случаях, когда длина последовательности нулей бесконечна, ее записывают с помощью знака многоточия, чтобы показать, что она продолжается бесконечно. В данном случае мы знаем, что десятичная дробь 4.0000... будет именно такой.

Наконец, перейдем к представлению числа -3,25 в виде бесконечной десятичной дроби.

Чтобы представить -3,25 в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем записать его целую часть -3, а после запятой записать бесконечную последовательность девяток, поскольку нам следует округлить 25 до 30 и далее делить на 9:

\[
-3.29999\ldots
\]

Округление до 30 происходит потому, что 3 ближе к 0, чем к 10, следовательно, мы округляем 5 до 0.

Наконец, перейдем к задаче о представлении числа 1 в виде бесконечной десятичной дроби, если это целое число \( \frac{1}{3} \).

Чтобы представить \(\frac{1}{3}\) в виде бесконечной десятичной дроби, мы можем применить метод деления с остатком. Давайте разделим 1 на 3:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
3 & 1 & . & & & & \\
\end{array}
\]

Поскольку 3 не вмещается в 1, запишем в ответе ноль и приведем дробь к другому виду, умножив числитель и знаменатель на 10:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
3 & 1 & . & & & & \\
& & & 1 & 0 & & \\
\hline
& 0 & . & 3 & 3 & 3 & \ldots \\
\end{array}
\]

Теперь 3 вмещается в 10. Запишем новую цифру в ответе и продолжим процесс:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
3 & 1 & . & 3 & 3 & 3 & \ldots \\
& & & 9 & & & \\
\hline
& 0 & . & 3 & 3 & 3 & \ldots \\
& & - & 9 & & & \\
\hline
& & & & 1 & 0 & \\
\end{array}
\]

И так далее. Мы видим, что последовательность после запятой будет повторяться бесконечно: \(0.3333\ldots\)

Таким образом, описанные бесконечные десятичные дроби представляют числа \( \frac{1}{9} \), 4, -3.25 и \( \frac{1}{3} \) соответственно.