Перечислите правильные утверждения: Если функция f является возрастающей, то ее обратная функция f -1 также является

В данной задаче нужно определить верные утверждения о свойствах обратных функций.

Пусть функция \( f(x) \) определена на некотором интервале. Обратная функция \( f^{-1}(x) \) определена, если и только если функция \( f(x) \) является обратимой.

Утверждение 1: Если функция \( f \) является возрастающей, то ее обратная функция \( f^{-1} \) также является возрастающей.

Доказательство:
Пусть \( f \) - возрастающая функция. Для произвольных чисел \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения функции \( f^{-1}(x) \), если \( x_1 < x_2 \), то по определению обратной функции \( f^{-1}(x_1) < f^{-1}(x_2) \).
Значит, обратная функция \( f^{-1} \) является возрастающей функцией.

Таким образом, утверждение 1 верно.

Утверждение 2: Если функция \( f \) возрастает, то ее обратная функция \( f^{-1} \) является убывающей.

Доказательство:
Пусть \( f \) - возрастающая функция. Рассмотрим произвольные числа \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения функции \( f^{-1}(x) \), если \( x_1 < x_2 \), то по определению обратной функции \( f^{-1}(x_1) < f^{-1}(x_2) \).
Таким образом, обратная функция \( f^{-1} \) является убывающей функцией.

Следовательно, утверждение 2 неверно.

Утверждение 3: Если функция \( f \) убывает, то ее обратная функция \( f^{-1} \) является возрастающей.

Доказательство:
Пусть \( f \) - убывающая функция. Рассмотрим произвольные числа \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения функции \( f^{-1}(x) \), если \( x_1 < x_2 \), то по определению обратной функции \( f^{-1}(x_1) < f^{-1}(x_2) \).
Таким образом, обратная функция \( f^{-1} \) является возрастающей функцией.

Следовательно, утверждение 3 верно.

Утверждение 4: Если функция \( f \) убывает, то ее обратная функция \( f^{-1} \) также убывает.

Доказательство:
Пусть \( f \) - убывающая функция. Для произвольных чисел \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения функции \( f^{-1}(x) \), если \( x_1 < x_2 \), то по определению обратной функции \( f^{-1}(x_1) < f^{-1}(x_2) \).
Таким образом, обратная функция \( f^{-1} \) является убывающей функцией.

Следовательно, утверждение 4 верно.

Итак, правильные утверждения: 1 и 4.