Параллелограммнинin диагонали равны 6 см и 8 см. Угол между ними составляет 60°. Найдите длины сторон параллелограмма

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов. Давайте обозначим длину одной стороны параллелограмма через \(a\), а длину второй стороны через \(b\).

Известно, что диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см. По определению параллелограмма, диагонали делят его на два равных треугольника. Поэтому, если мы нарисуем высоту из угла 60°, она будет являться медианой треугольника и половиной диагонали.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения длин сторон параллелограмма. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(c\) - длина третьей стороны, \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

В нашем случае, длины сторон параллелограмма обозначены как \(a\) и \(b\), а угол между ними - 60°. Подставим известные значения в формулу.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60°)\]

Так как у нас есть только две известные стороны и один угол, мы можем решить эту формулу относительно любой из сторон, например, относительно \(a\).

\[a^2 = c^2 - b^2 + 2ab \cdot \cos(60°)\]

Теперь, чтобы найти длины сторон параллелограмма, нам нужно знать длину третьей стороны \(c\). Давайте найдем ее, используя теорему Пифагора для одного из треугольников.

\[\text{Треугольник } ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Мы знаем, что длина одной диагонали равна 6 см, а длина второй диагонали - 8 см. Подставим эти значения в формулу.

\[AC^2 = 6^2 + 8^2\]

\[AC^2 = 36 + 64\]

\[AC^2 = 100\]

\[AC = 10\]

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления длин сторон параллелограмма. Подставим найденные значения в формулу для \(a\):

\[a^2 = 10^2 - b^2 + 2 \cdot 10b \cdot \cos(60°)\]

\[a^2 = 100 - b^2 + 20b \cdot \cos(60°)\]

\[a^2 = 100 - b^2 + 20b \cdot \frac{1}{2}\]

\[a^2 = 100 - b^2 + 10b\]

Теперь мы можем использовать другое известное условие о параллелограмме: его противоположные стороны равны по длине. Это означает, что \(a = b\). Подставим это в последнее уравнение:

\[a^2 = 100 - a^2 + 10a\]

\[2a^2 - 10a - 100 = 0\]

Проведем факторизацию:

\[2(a^2 - 5a - 50) = 0\]

\[a^2 - 5a - 50 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 325\]

\[a_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{325}}{2 \cdot 1}\]

\[a_1 = \frac{5 + 5\sqrt{13}}{2} \approx 8.09\]

\[a_2 = \frac{5 - 5\sqrt{13}}{2} \approx -3.09\]

Так как длина сторон не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательный результат.

Таким образом, длина сторон параллелограмма равна приближенно 8.09 см. Ответ: \(\text{Длина сторон параллелограмма} = 8.09 \, \text{см}\).