Парафразируем текст задач: 1. Сколько способов выбрать 3 яблока из ящика, в котором находятся 9 яблок? 2. Сколькими

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди, предоставив пошаговое решение и подробные объяснения.

1. В первой задаче нам нужно определить, сколько способов выбрать 3 яблока из ящика, в котором находятся 9 яблок. Для этого мы можем использовать комбинаторику и формулу сочетаний. Формула сочетаний выглядит следующим образом:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашем случае \(n = 9\) (общее количество яблок в ящике) и \(k = 3\) (количество яблок, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу и рассчитаем:

\[\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\]

Таким образом, есть 84 способа выбрать 3 яблока из ящика, в котором находятся 9 яблок.

2. Во второй задаче нам нужно определить, сколько способов можно приобрести 6 открыток из трех доступных видов на почте. Это задача размещений, так как у нас есть ограничение на количество выбираемых объектов.

Формула размещений имеет следующий вид:
\[A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}\]

В данном случае у нас 3 доступных вида открыток, поэтому \(n = 3\). Мы хотим приобрести 6 открыток, поэтому \(k = 6\). Подставим значения в формулу:
\[A(3, 6) = \frac{3!}{(3-6)!} = \frac{3!}{(-3)!} = \frac{3!}{3!} = 1\]

Таким образом, у нас только 1 способ приобрести 6 открыток из трех доступных видов.

3. В третьей задаче нам нужно вычислить количество различных комбинаций из 4 карточек, выбирая их из корзины, где находятся карточки с числами от 1 до 10, и складывая выбранные числа.

Для решения этой задачи мы можем использовать метод перебора исходов. У нас есть 10 карточек с числами от 1 до 10, и мы можем выбрать 4 из них.

Количество различных комбинаций можно вычислить по формуле:
\[C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае \(n = 10\) (общее количество карточек) и \(k = 4\) (количество карточек, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу и рассчитаем:
\[C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!}\]

Чтобы продолжить расчет, нам необходимо вычислить факториалы чисел 10, 4 и 6. Факториал числа - это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]
\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \quad 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставим значения факториалов в формулу:
\[C(10, 4) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Мы видим, что некоторые члены сокращаются:
\[C(10, 4) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!}\]

Продолжая вычисления, получаем:
\[C(10, 4) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\]

Таким образом, у нас есть 210 различных комбинаций из 4 карточек, выбранных из корзины с числами от 1 до 10 и сложенных между собой.

4. В четвертой задаче нам нужно определить, на скольких разных способах можно разделить 7 конфет между 3 друзьями. В этой задаче мы можем использовать комбинаторику и формулу разделов.

Формула разделений имеет следующий вид:
\[D(n, k) = \binom{n+k-1}{k-1}\]

В нашем случае \(n = 7\) (общее количество конфет) и \(k = 3\) (количество друзей). Подставим значения в формулу и рассчитаем:
\[D(7, 3) = \binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!}\]

Для расчетов необходимо вычислить факториалы чисел 9, 2 и 7:
\[9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]
\[2! = 2 \cdot 1 \quad 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставим значения факториалов в формулу:
\[D(7, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Элементы сокращаются и расчеты продолжаются:
\[D(7, 3) = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\]

Таким образом, у нас есть 36 различных способов разделить 7 конфет между 3 друзьями.

5. В пятой задаче нам нужно определить, сколько различных отрядов, состоящих из одного рядового и трех генералов, можно сформировать из 5 рядовых и 50 генералов в стране.

В данной задаче, нам нужно вычислить количество размещений. У нас есть 5 рядовых и 50 генералов, и мы хотим сформировать отряд, состоящий из одного рядового и трех генералов.

Формула размещений имеет следующий вид:
\[A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}\]

В данном случае \(n = 50\) (общее количество генералов) и \(k = 3\) (количество генералов, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу и рассчитаем:
\[A(50, 3) = \frac{50!}{(50-3)!} = \frac{50!}{47!}\]

Расчет факториалов займет слишком много времени, поэтому воспользуемся похожим рассуждением. Мы можем выбрать одного рядового из 5 возможных способов (так как у нас есть 5 рядовых) и три генерала из 50 возможных способов (так как у нас есть 50 генералов). Таким образом, общее количество отрядов можно посчитать следующим образом:
\[A(50, 3) = 5 \cdot \binom{50}{3} = 5 \cdot \frac{50!}{3!(50-3)!}\]

Подставим значения и рассчитаем:
\[A(50, 3) = 5 \cdot \frac{50!}{3!47!} = 5 \cdot \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 47!} = 5 \cdot \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 19600\]

Таким образом, мы можем сформировать 19600 различных отрядов, состоящих из одного рядового и трех генералов, из 5 рядовых и 50 генералов в стране.

Надеюсь, объяснения и пошаговые решения помогли вам понять данные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!