Докажите, что плоскость ad1c перпендикулярна плоскости bb1d1 в данной правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1

Для доказательства, что плоскость \(ad1c\) перпендикулярна плоскости \(bb1d1\) в данной правильной четырехугольной призме \(abcda1b1c1d1\), нам необходимо показать, что векторы, параллельные этим плоскостям, являются перпендикулярными.

По определению, две плоскости называются перпендикулярными, если векторы, параллельные этим плоскостям, являются перпендикулярными.

Рассмотрим плоскость \(ad1c\) и найдем векторы, параллельные этой плоскости. Векторы можно найти, соединив узлы плоскости с помощью стрелок. Обозначим вектор, направленный от точки \(a\) к точке \(d1\), как \(\overrightarrow{ad1}\), и вектор, направленный от точки \(c\) к точке \(a1\), как \(\overrightarrow{ca1}\).

\(\overrightarrow{ad1} = \overrightarrow{a1} - \overrightarrow{a}\) (1)
\(\overrightarrow{ca1} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a1}\) (2)

Также рассмотрим плоскость \(bb1d1\) и найдем векторы, параллельные ей. Векторы можно найти, соединив узлы плоскости с помощью стрелок. Обозначим вектор, направленный от точки \(b\) к точке \(b1\), как \(\overrightarrow{bb1}\), и вектор, направленный от точки \(d1\) к точке \(b1\), как \(\overrightarrow{d1b1}\).

\(\overrightarrow{bb1} = \overrightarrow{b1} - \overrightarrow{b}\) (3)
\(\overrightarrow{d1b1} = \overrightarrow{b1} - \overrightarrow{d1}\) (4)

Теперь, чтобы проверить, что плоскость \(ad1c\) перпендикулярна плоскости \(bb1d1\), мы должны убедиться, что векторы \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{d1b1}\) являются перпендикулярными.

Для этого мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов. Двумерное скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) в пространстве может быть вычислено следующим образом:

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta)\)

Где \(|\overrightarrow{u}|\) и \(|\overrightarrow{v}|\) - длины векторов \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\), а \(\theta\) - угол между ними. Если \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\), то векторы являются перпендикулярными.

Теперь найдем векторы \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{d1b1}\) в компонентах:

\(\overrightarrow{ad1} = (x_{d1} - x_a)\vec{i} + (y_{d1} - y_a)\vec{j} + (z_{d1} - z_a)\vec{k}\)
\(\overrightarrow{d1b1} = (x_{b1} - x_{d1})\vec{i} + (y_{b1} - y_{d1})\vec{j} + (z_{b1} - z_{d1})\vec{k}\)

Где \(x_a\), \(y_a\), \(z_a\) - координаты точки \(a\), \(x_{d1}\), \(y_{d1}\), \(z_{d1}\) - координаты точки \(d1\), \(x_{b1}\), \(y_{b1}\), \(z_{b1}\) - координаты точки \(b1\).

Также, используя формулы (1)-(4), можно выразить компоненты векторов \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{d1b1}\) через известные векторы \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{a1}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{b1}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{d1}\):

\(\overrightarrow{ad1} = (\overrightarrow{a1} - \overrightarrow{a})\)
\(\overrightarrow{d1b1} = (\overrightarrow{b1} - \overrightarrow{d1})\)

Теперь, вычисляем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{d1b1}\):

\(\overrightarrow{ad1} \cdot \overrightarrow{d1b1} = (\overrightarrow{a1} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{b1} - \overrightarrow{d1})\)

Раскроем скалярное произведение векторов:

\(\overrightarrow{ad1} \cdot \overrightarrow{d1b1} = (\overrightarrow{a1} \cdot \overrightarrow{b1}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d1}) - (\overrightarrow{a1} \cdot \overrightarrow{d1}) + (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b1})\)

Подставим выражения для векторов:

\(\overrightarrow{ad1} \cdot \overrightarrow{d1b1} = ((x_{a1} - x_a)\vec{i} + (y_{a1} - y_a)\vec{j} + (z_{a1} - z_a)\vec{k}) \cdot ((x_{b1} - x_{d1})\vec{i} + (y_{b1} - y_{d1})\vec{j} + (z_{b1} - z_{d1})\vec{k})\)

Раскроем скалярное произведение:

\(\overrightarrow{ad1} \cdot \overrightarrow{d1b1} = (x_{a1} - x_a)(x_{b1} - x_{d1}) + (y_{a1} - y_a)(y_{b1} - y_{d1}) + (z_{a1} - z_a)(z_{b1} - z_{d1})\)

Если \(\overrightarrow{ad1} \cdot \overrightarrow{d1b1} = 0\), значит векторы \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{d1b1}\) перпендикулярны. Таким образом, это доказывает, что плоскость \(ad1c\) перпендикулярна плоскости \(bb1d1\) в данной призме.

Теперь, для расчета расстояния от точки \(b1\) до плоскости \(ad1c\), мы можем воспользоваться формулой расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{{|\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}|}}{{|\overrightarrow{n}|}}\]

Где \(\overrightarrow{v}\) - вектор, направленный от любой точки на плоскости \(ad1c\) до точки \(b1\), а \(\overrightarrow{n}\) - нормальный вектор плоскости \(ad1c\). Чтобы найти \(\overrightarrow{n}\), мы можем использовать векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости \(ad1c\), например, \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{d1c}\).

\[\overrightarrow{n} = \overrightarrow{ad1} \times \overrightarrow{d1c}\]

Теперь осталось только подставить значения в формулу расстояния от точки до плоскости и вычислить результат.