Парафразированный вариант вопроса № 1: Можно ли доказать, что четырехугольник с вершинами A (1;-2;3), B (3;2;1

Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

Вопрос №1: Мы хотим доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Чтобы это сделать, нам необходимо проверить, удовлетворяют ли условия параллелограмма для соответствующих векторов сторон.

Итак, начнем с вычисления векторов сторон AB, BC, CD и DA:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix}6 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -4 \\ 2\end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}
\]

Теперь проверим условия параллелограмма. Если сумма векторов сторон AB и CD равна вектору BC, и сумма векторов сторон BC и DA равна вектору CD, то мы можем сделать вывод, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Давайте это проверим:

\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ -4 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
\]

Видим, что оба условия выполняются, что означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь рассмотрим длины его сторон. Длина вектора - это величина его нормы. Давайте вычислим нормы для каждого вектора:

Длина стороны AB: \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)
Длина стороны BC: \(\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{22}\)
Длина стороны CD: \(\|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)
Длина стороны DA: \(\|\overrightarrow{DA}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{22}\)

Теперь перейдем к вычислению cos угла A. Для этого воспользуемся скалярным произведением векторов. Угол между векторами можно найти по формуле: \(\cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AD}\|}\)

Вычислим числитель и знаменатель:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix} = -6 - 8 + 6 = -8\)
\(\|\overrightarrow{AB}\| = 2\sqrt{6}\)
\(\|\overrightarrow{AD}\| = \sqrt{22}\)

Теперь можем вычислить cos угла A:

\(\cos A = \frac{-8}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{22}} = \frac{-4}{\sqrt{132}} = -\frac{2}{\sqrt{33}}\)

Итак, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нашли длины его сторон: AB = BC = \(2\sqrt{6}\), CD = DA = \(\sqrt{22}\), и cos угла А равен \(-\frac{2}{\sqrt{33}}\).

Перейдем к следующей задаче.

Вопрос №2: Чтобы определить, являются ли векторы а и в перпендикулярными, нужно проверить, скалярное произведение векторов равно нулю.

Вычислим скалярное произведение векторов а и в:

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v} = (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 4 \cdot (-2) = -6 + 4 - 8 = -10\)

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы являются перпендикулярными. В нашем случае скалярное произведение не равно нулю (-10), поэтому векторы а и в не являются перпендикулярными.

Продолжим с последней задачей.

Вопрос №3: Нам нужно определить, какие из векторов AB, BC, CD и AD равны между собой.

Мы уже вычислили эти векторы в рамках решения первой задачи:

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}-2 \\ -4 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}\)

Сравнив эти векторы, мы можем заключить, что:

AB ≠ BC
AB ≠ CD
AB ≠ DA
BC ≠ CD
BC ≠ DA
CD ≠ DA

Итак, ни один из этих векторов не равен другому, поэтому ни одна пара из них не является равной.

Я надеюсь, что мое пояснение было подробным и понятным.