PABC - The correct tetrahedron with an edge length of 1. Point O is the centroid of the base ABC; points H, E

Для начала рассмотрим вектор PO.
Определим координаты точек P, O и вектора PO:
Пусть координаты точек A, B, C и D равны (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0.5, sqrt(3)/2, 0) и (0.5, sqrt(3)/6, sqrt(6)/3) соответственно.

1) a) Чтобы найти вектор PO, нужно из координат точки O вычесть координаты точки P:
PO = (0.5, sqrt(3)/6, sqrt(6)/3) - (0.5, sqrt(3)/2, 0)
= (0, sqrt(3)/3 - sqrt(3)/2, sqrt(6)/3)
= (0, -sqrt(3)/6, sqrt(6)/3)

Длина вектора PO найдется по формуле:
|PO| = sqrt((0)^2 + (-sqrt(3)/6)^2 + (sqrt(6)/3)^2)
= sqrt(0 + 3/36 + 6/9)
= sqrt(3/12 + 24/12)
= sqrt(27/12)
= sqrt(9/4)
= 3/2

Таким образом, длина вектора PO равна 3/2.

Ответ: Длина вектора PO равна 3/2.

b) Чтобы найти вектор KE, нужно из координат точки E вычесть координаты точки K:
KE = (0.5, 0, sqrt(6)/6) - (0.5, sqrt(3)/6, sqrt(6)/3)
= (0, -sqrt(3)/6, sqrt(6)/6) - (0, sqrt(3)/6, sqrt(6)/3)
= (0, -sqrt(3)/3, -sqrt(6)/6)

Длина вектора KE найдется по формуле:
|KE| = sqrt((0)^2 + (-sqrt(3)/3)^2 + (-sqrt(6)/6)^2)
= sqrt(0 + 3/9 + 6/36)
= sqrt(1/3 + 1/6)
= sqrt(3/6 + 1/6)
= sqrt(4/6)
= sqrt(2/3)
= sqrt(2)/sqrt(3)
= sqrt(6)/3

Таким образом, длина вектора KE равна sqrt(6)/3.

Ответ: Длина вектора KE равна sqrt(6)/3.

2) a) Найдем вектор PA и вектор PH:
PA = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
PH = (1, 0, 0) - (0.5, sqrt(3)/2, 0)
= (0.5, -sqrt(3)/2, 0)

Скалярное произведение векторов PA и PH:
PA · PH = (1, 0, 0) · (0.5, -sqrt(3)/2, 0)
= 1 * 0.5 + 0 * (-sqrt(3)/2) + 0 * 0
= 0.5

Длины векторов PA и PH найдутся по формулам:
|PA| = sqrt((1)^2 + (0)^2 + (0)^2) = sqrt(1) = 1
|PH| = sqrt((0.5)^2 + (-sqrt(3)/2)^2 + (0)^2)
= sqrt(0.25 + 3/4 + 0)
= sqrt(1 + 3/4)
= sqrt(7/4)
= sqrt(7)/2

Угол между векторами PA и PH можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (PA · PH) / (|PA| * |PH|)
θ = arccos((PA · PH) / (|PA| * |PH|))

Подставим известные значения и вычислим:
θ = arccos(0.5 / (1 * sqrt(7)/2))
= arccos(0.5 / (sqrt(7)/2))
= arccos(1/sqrt(7))
≈ 28.955°

Ответ: Угол между векторами PA и PH составляет примерно 28.955°.

b) Найдем вектор BE:
BE = (1, 0, 0) - (0, sqrt(3)/2, 0) = (1, -sqrt(3)/2, 0)

Скалярное произведение векторов PA и BE:
PA · BE = (1, 0, 0) · (1, -sqrt(3)/2, 0)
= 1 * 1 + 0 * (-sqrt(3)/2) + 0 * 0
= 1

Длины векторов PA и BE, как мы уже вычисляли ранее, равны 1 и sqrt(3)/2 соответственно.

Угол между векторами PA и BE можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (PA · BE) / (|PA| * |BE|)
θ = arccos((PA · BE) / (|PA| * |BE|))

Подставим известные значения и вычислим:
θ = arccos(1 / (1 * sqrt(3)/2))
= arccos(2/sqrt(3))
≈ 35.264°

Ответ: Угол между векторами PA и BE составляет примерно 35.264°.

c) Найдем вектор AB:
AB = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)

Скалярное произведение векторов PA и AB:
PA · AB = (1, 0, 0) · (1, 0, 0)
= 1 * 1 + 0 * 0 + 0 * 0
= 1

Длины векторов PA и AB, как мы уже вычисляли ранее, равны 1 и 1 соответственно.

Угол между векторами PA и AB можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (PA · AB) / (|PA| * |AB|)
θ = arccos((PA · AB) / (|PA| * |AB|))

Подставим известные значения и вычислим:
θ = arccos(1 / (1 * 1))
= arccos(1)
= 0°

Ответ: Угол между векторами PA и AB равен нулю.

Таким образом, мы нашли углы между векторами PA и PH, PA и BE, PA и AB. Ответы: 28.955°, 35.264°, 0°.

Пожалуйста, обращайтесь, если у вас возникнут еще вопросы по этой задаче или каким-либо другим математическим вопросам!