Отредактируйте неравенство: (5х+2 )² ≥ (4-2х)²

Для начала, давайте рассмотрим данное неравенство:
\[(5x + 2)^2 \geq (4 - 2x)^2\]

Для редактирования данного неравенства, мы можем применить несколько шагов:

Шаг 1: Раскроем квадраты на обеих сторонах неравенства:
\[25x^2 + 20x + 4 \geq 16 - 16x + 4x^2\]

Шаг 2: Сгруппируем все члены с \(x^2\) на одну сторону, а все свободные члены на другую:
\[25x^2 - 4x^2 + 20x + 16x -20 \geq 0\]

Шаг 3: Упростим данное неравенство:
\[21x^2 + 36x - 20 \geq 0\]

Теперь у нас есть квадратное неравенство, и чтобы решить его, мы можем использовать метод интервалов или графический метод.

Шаг 4: Применим метод интервалов.

- Найдем критические точки, где неравенство может меняться. Найдем корни уравнения \(21x^2 + 36x - 20 = 0\).

Мы можем использовать метод дискриминанта для нахождения корней этого квадратного уравнения:

Дискриминант, \(D\), для этого уравнения равен:
\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 21\), \(b = 36\) и \(c = -20\).

Рассчитаем дискриминант:
\[D = 36^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-20) = 1296 + 1680 = 2976\]

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), это означает, что у нас есть два различных корня.

\[\sqrt{D} = \sqrt{2976} \approx 54.5\]

Используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), можем найти корни:

\[x_1 = \frac{-36 + 54.5}{2 \cdot 21} \approx 0.6\]
\[x_2 = \frac{-36 - 54.5}{2 \cdot 21} \approx -2.2\]

Таким образом, у нас есть два критические значения: \(x_1 \approx 0.6\) и \(x_2 \approx -2.2\).

Далее, мы можем построить интервалы на числовой прямой:

1. Если \(x < -2.2\), то неравенство \(21x^2 + 36x - 20 \geq 0\) выполняется, так как оно будет являться положительным, когда \(x\) находится в этом интервале.

2. Если \(-2.2 \leq x \leq 0.6\), то неравенство \(21x^2 + 36x - 20 \geq 0\) не выполняется, так как оно будет отрицательным, когда \(x\) находится в этом интервале.

3. Если \(x > 0.6\), то неравенство \(21x^2 + 36x - 20 \geq 0\) снова выполняется, так как оно будет положительным, когда \(x\) находится в этом интервале.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал \(-\infty < x \leq -2.2\) и \(0.6 \leq x < +\infty\).