Какова длина между концами проекций наклонных AD и DC на плоскости α, если длина проекции AD составляет 3

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать триангуляцию и тригонометрию. Давайте рассмотрим внимательно данную ситуацию.

У нас есть треугольник ADC, в котором AD и DC - это стороны треугольника, а угол между ними, обозначим его как угол ACD - 120°. Мы хотим найти длину отрезка между концами проекций AD и DC на плоскости α. Пусть эта длина обозначается как х.

Для начала, давайте построим ортогональные проекции AD" и DC" на плоскость α. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник AD"C", где проекции сторон AD и DC равны 3 см и 9 см соответственно. Требуется найти длину отрезка D"C".

Чтобы найти длину отрезка D"C", мы можем использовать теорему косинусов для треугольника AD"C". Данная теорема гласит:

\[D"C"^2 = AD"^2 + AD^2 - 2 \cdot AD" \cdot AD \cdot \cos(\angle D"AD)\]

Теперь нам нужно найти значение \(AD"\), но мы не знаем его напрямую. Однако, нам дан угол ACD, а это означает, что угол D"AD равен 180° - угол ACD, то есть 180° - 120° = 60°.

Теперь мы можем приступить к нахождению \(AD"\). Для этого воспользуемся формулой:

\[AD" = AD \cdot \cos(\angle ACB)\]

Где \(\angle ACB\) - это угол между наклонными AD и DC на плоскости α. В нашем случае, это угол ACD, который составляет 120°.

Таким образом, \(AD" = AD \cdot \cos(120°)\).

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы подставить их в теорему косинусов и найти длину отрезка D"C":

\[D"C"^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(60°)\]

Рассчитаем значение:

\[D"C"^2 = 9 + 81 - 54 \cdot \frac{1}{2}\]

Перемножим 54 и \(\frac{1}{2}\) и получим:

\[D"C"^2 = 45\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти значение D"C":

\[D"C" = \sqrt{45}\]

Вычислим значение:

\[D"C" \approx 6.71 \text{ см}\]

Таким образом, получаем, что длина отрезка между концами проекций наклонных AD и DC на плоскости α составляет около 6.71 см.