Оптика. Какое максимальное расстояние от монеты следует выбрать для размещения в воде плоского экрана радиуса r

Для решения данной задачи нужно учесть законы преломления, а именно закон Снеллиуса.

Закон Снеллиуса формулируется следующим образом: \[n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\]

Где:
- \(n_1\) – показатель преломления среды, из которой свет падает (в данном случае, из воздуха, \(n_1 = 1\));
- \(\theta_1\) – угол падения света относительно нормали к поверхности раздела двух сред;
- \(n_2\) – показатель преломления воды (предположим, \(n_2 = 1.33\));
- \(\theta_2\) – угол преломления света относительно нормали к поверхности раздела двух сред.

В нашем случае, монета будет невидима при угле преломления \(\theta_2\) равном 90 градусам. Таким образом, мы можем использовать закон Снеллиуса для определения угла падения \(\theta_1\) для этого случая:

\[n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\]
\[1 \cdot \sin(\theta_1) = 1.33 \cdot \sin(90°)\]
\[\sin(\theta_1) = \frac{1.33}{1}\]
\[\sin(\theta_1) = 1.33\]

Здесь мы должны отметить, что синус угла падения не может быть больше 1. Итак, мы понимаем, что нет такого угла падения для которого угл преломления равняется 90 градусам. Используя обратную функцию синуса (\(\arcsin\)), мы можем найти угол падения света:

\[\theta_1 = \arcsin(1.33)\]

Теперь мы можем использовать геометрические соображения для определения расстояния, необходимого для размещения плоского экрана от монеты. Для этого мы можем нарисовать следующую картинку:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
& & \\
& \text{монета} & \\
& & \\
\hline
& \text{воздух} & \\
\hline
\end{array}
\]

Расстояние от монеты до экрана равно расстоянию от экрана до поверхности воды (X), плюс глубина погружения экрана (Y). Для того чтобы монета была невидима, лучи света, отраженные от монеты, не должны достигать глаз наблюдателя. Поэтому нам нужно учитывать только лучи света, проходящие от экрана к монете и далее в воду.

Используя геометрические соображения, мы можем составить следующее соотношение:

\[\tan(\arcsin(1.33)) = \frac{Y}{X}\]

Так как \(\tan(\arcsin(\theta)) = \sqrt{1 - \theta^2}\), мы можем переписать уравнение:

\[\sqrt{1 - (1.33)^2} = \frac{Y}{X}\]

Решая это уравнение, мы найдем отношение между X и Y, которое будет равно тангенсу арксинуса показателя преломления воды.

\[\frac{Y}{X} = \sqrt{1 - (1.33)^2}\]
\[X = \frac{Y}{\sqrt{1 - (1.33)^2}}\]

Теперь мы можем вычислить максимальное расстояние от монеты (то есть X), чтобы она не была заметна из воздуха. Для этого нужно учесть радиус монеты r = 5 см и глубину погружения экрана. Пусть глубина погружения экрана в воду будет равна h. Тогда максимальное расстояние можно найти по формуле:

\[X = \frac{Y}{\sqrt{1 - (1.33)^2}} = \frac{r + h}{\sqrt{1 - (1.33)^2}}\]

Таким образом, максимальное расстояние от монеты до экрана для невидимости монеты из воздуха составляет:

\[X = \frac{5 \, \text{см} + h}{\sqrt{1 - (1.33)^2}}\]