Определите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОВ и АОС, при условии, что точка A(1;0), B(1/4; √15/4) и C(-1/2

Для начала, давайте определим значения углов АОВ и АОС. Угол АОВ является углом, образованным от точки O до точки B, а угол АОС - от точки O до точки C.

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы для нахождения синуса, косинуса и тангенса.

Формула для нахождения синуса угла определенна как отношение противоположной стороны к гипотенузе:
\[\sin(\theta) = \frac{BC}{OB}\]

Формула для нахождения косинуса угла также является отношением прилежащей стороны к гипотенузе:
\[\cos(\theta) = \frac{OC}{OB}\]

Наконец, формула для нахождения тангенса угла выражается как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне:
\[\tan(\theta) = \frac{BC}{OC}\]

Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса и тангенса для углов АОВ и АОС.

1) Угол АОВ:
Для начала, найдем длину сторон BC и OB.
BC - это расстояние между точками B и C. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:
\[BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставляя координаты точек B и C в эту формулу, получаем:
\[BC = \sqrt{\left(\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{15}{4}} - \sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2}\]

Вычисляя это выражение, получаем:
\[BC \approx \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\sqrt{\frac{15}{4}} - \sqrt{\frac{3}{2}})^2} \approx \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{15}{4} - 2\sqrt{\frac{45}{8}}} \approx \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{15}{4} - \frac{3}{\sqrt{2}}}\]

Сокращаем дроби:
\[BC \approx \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{60}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}} \approx \sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}\]

Теперь найдем длину стороны OB:
OB - это расстояние между началом координат O и точкой B. Также можно использовать формулу расстояния между двумя точками:
\[OB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставляя координаты точек O и B в эту формулу, получаем:
\[OB = \sqrt{(1/4 - 0)^2 + (\sqrt{15/4} - 0)^2}\]

Вычисляя это выражение, получаем:
\[OB \approx \sqrt{(1/4)^2 + (\sqrt{15/4})^2} \approx \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{15}{4}} \approx \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{60}{16}} \approx \sqrt{\frac{61}{16}}\]

Теперь, используя найденные значения сторон BC и OB, мы можем вычислить синус, косинус и тангенс угла АОВ.

Синус угла АОВ:
\[\sin(\theta_{AOV}) = \frac{BC}{OB} = \frac{\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{\frac{61}{16}}}\]

Косинус угла АОВ:
\[\cos(\theta_{AOV}) = \frac{OC}{OB} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{61}{16}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{61}{16}}}\]

Тангенс угла АОВ:
\[\tan(\theta_{AOV}) = \frac{BC}{OC} = \frac{\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}\]

2) Угол АОС:
Аналогично, найдем длину сторон BC и OC.
BC - это расстояние между точками B и C, которое уже вычислили ранее.
OC - это расстояние между началом координат O и точкой C. Опять же, используя формулу расстояния между двумя точками, получаем:
\[OC = \sqrt{(-1/2 - 0)^2 + (\sqrt{3/2} - 0)^2}\]

Вычисляя это выражение, получаем:
\[OC \approx \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3/2})^2} \approx \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \approx \sqrt{1} = 1\]

Теперь, используя найденные значения сторон BC и OC, мы можем вычислить синус, косинус и тангенс угла АОС.

Синус угла АОС:
\[\sin(\theta_{AOS}) = \frac{BC}{OC} = \frac{\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}}{1} = \sqrt{\frac{69}{16} - \sqrt{2}}\]

Косинус угла АОС:
\[\cos(\theta_{AOS}) = \frac{OC}{ OB} = \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{61}{16}} } = \frac{1}{ \sqrt{\frac{61}{16}}}\]

Тангенс угла АОС:
\[\tan(\theta_{AOS}) = \frac{BC}{OC} = \frac{\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{ \sqrt{2} }} }{1} = \sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{ \sqrt{2} }}\]

Таким образом, значения синуса, косинуса и тангенса для углов АОВ и АОС будут:
\[\sin(\theta_{AOV}) = \frac{\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{\frac{61}{16}}}\]
\[\cos(\theta_{AOV}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{61}{16}}}\]
\[\tan(\theta_{AOV}) = 2\sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}\]
\[\sin(\theta_{AOS}) = \sqrt{\frac{69}{16} - \sqrt{2}}\]
\[\cos(\theta_{AOS}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{61}{16}}}\]
\[\tan(\theta_{AOS}) = \sqrt{\frac{69}{16} - \frac{3}{\sqrt{2}}}\]

Подставьте значения координат точек B и C, чтобы получить окончательные численные значения синуса, косинуса и тангенса для углов АОВ и АОС.