Определите значение косинуса угла между векторами m 5a+b и n 2a-b, при условии, что вектор a является перпендикулярным

Для определения значения косинуса угла между векторами \(m = 5a + b\) и \(n = 2a - b\), мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами.

Формула для косинуса угла \(\theta\) между двумя векторами \(u\) и \(v\) выглядит следующим образом:

\[
\cos(\theta) = \frac{{u \cdot v}}{{\|u\| \cdot \|v\|}}
\]

Где \(u \cdot v\) - скалярное произведение векторов \(u\) и \(v\), а \(\|u\|\) и \(\|v\|\) - длины векторов \(u\) и \(v\) соответственно.

Давайте применим эту формулу к векторам \(m\) и \(n\).

Сначала найдём скалярное произведение векторов \(m\) и \(n\):

\[
(m \cdot n) = (5a + b) \cdot (2a - b)
\]

Раскроем скобки:

\[
(5a + b) \cdot (2a - b) = 10a \cdot a - 5a \cdot b + 2a \cdot b - b \cdot b
\]

Так как вектор \(a\) перпендикулярен вектору \(b\), тогда \(a \cdot b = 0\) и \(b \cdot b = \|b\|^2\). Поэтому упростим выражение:

\[
(5a + b) \cdot (2a - b) = 10\|a\|^2 - \|b\|^2
\]

Теперь найдём длины векторов \(m\) и \(n\):

\[
\|m\| = \|5a + b\| = \sqrt{(5a + b) \cdot (5a + b)}
\]
\[
\|n\| = \|2a - b\| = \sqrt{(2a - b) \cdot (2a - b)}
\]

Заметим, что \(\|5a + b\| = \sqrt{(5a + b) \cdot (5a + b)}\) и \(\|2a - b\| = \sqrt{(2a - b) \cdot (2a - b)}\) равны \(\sqrt{(5a + b) \cdot (5a + b)}\) и \(\sqrt{(2a - b) \cdot (2a - b)}\) соответственно, так как эти выражения являются действительными числами.

Подставим значения скалярного произведения и длин в формулу косинуса угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{{(5a + b) \cdot (2a - b)}}{{\|5a + b\| \cdot \|2a - b\|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{10\|a\|^2 - \|b\|^2}}{{\sqrt{(5a + b) \cdot (5a + b)} \cdot \sqrt{(2a - b) \cdot (2a - b)}}}
\]

Итак, значение косинуса угла между векторами \(m = 5a + b\) и \(n = 2a - b\) составляет \(\frac{{10\|a\|^2 - \|b\|^2}}{{\sqrt{(5a + b) \cdot (5a + b)} \cdot \sqrt{(2a - b) \cdot (2a - b)}}}\).