1) Докажите прямоугольность треугольника АОВ, когда окружность с центром в точке О вписана в равнобедренную трапецию

1) Для доказательства прямоугольности треугольника АОВ, когда окружность с центром в точке О вписана в равнобедренную трапецию АВСD, нам понадобятся некоторые свойства и утверждения.

Пусть точка M - точка касания окружности с боковой стороной АВ, а точка N - середина стороны АВ треугольника АОВ.


1. Рассмотрим радиус окружности, проведенный из центра О к точке касания M. Поскольку радиус окружности перпендикулярен касательной, то радиус AO будет перпендикулярен стороне АВ трапеции.

2. Рассмотрим отрезок NM, который является высотой треугольника АОВ. Поскольку точка N является серединой стороны АВ трапеции, то отрезок NM будет половиной стороны АВ.

3. С учетом равенства сторон АО и ОМ (они равны радиусу окружности, так как они являются радиусами одной и той же окружности), треугольник АОМ будет равнобедренным.

4. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол АОМ равен углу ОАМ.

5. Поскольку угол АОМ и угол ОАМ являются смежными и равными, то их сумма будет равна 180 градусам.

6. Получили, что АОМ - прямой угол, значит треугольник АОВ прямоугольный.


2) Чтобы найти площадь треугольника АОВ, когда радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в определенном отношении, нам понадобится использовать полезные формулы и свойства.

Пусть точка касания M делит боковую сторону трапеции в отношении AM : MB = k : 1, где k - некоторое число.

1. Используя свойства равнобедренной трапеции, можем утверждать, что стороны треугольника МОВ будут равны: МО = MB = 2 (длина радиуса окружности).

2. Чтобы найти длину АО, можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике АОM, так как у нас есть катеты АО и МО.

\[АО^2 = АМ^2 - МО^2\]
\[АО^2 = (АМ + МО) \cdot (АМ - МО)\]
\[АО^2 = (k + 2)^2 - 2^2\]
\[АО^2 = (k + 2)^2 - 4\]
\[АО = \sqrt{(k + 2)^2 - 4}\]

3. Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника АОВ, можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника.

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

Где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Для треугольника АОВ:
\[p = \frac{{АО + ОВ + АВ}}{2}\]
\[p = \frac{{\sqrt{(k + 2)^2 - 4} + 2 + 2k}}{2}\]

Таким образом,
\[S = \sqrt{\left(\frac{{\sqrt{(k + 2)^2 - 4} + 2 + 2k}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{\sqrt{(k + 2)^2 - 4} + 2 + 2k}}{2} - 2\right) \cdot 2^2 \cdot 2}\]

Вычисляя эту формулу, мы получим значение площади треугольника АОВ в зависимости от значения k.