Определите, являются ли следующие утверждения верными или неверными: 1. Если длину стороны квадрата уменьшить на

Очень хорошо! Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди и определим, является ли оно верным или неверным.

1. Если длину стороны квадрата уменьшить на 7, то периметр квадрата уменьшится на 28.

Для начала вспомним формулу для нахождения периметра квадрата. Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Если длину одной стороны квадрата обозначим как \(a\), то периметр квадрата можно записать как \(4a\).

По утверждению, если длину стороны уменьшить на 7, то мы получим \(a - 7\). Следовательно, новый периметр будет равен \(4(a - 7)\).

Теперь найдем разность между исходным и новым периметром:
\[
4a - 4 \cdot 7 = 4a - 28
\]

Мы получили выражение для разности периметров. Утверждение говорит, что разность равна 28, то есть \(4a - 28 = 28\).

Теперь решим это уравнение:
\[
4a - 28 = 28
\]

Добавим 28 к обеим частям уравнения:
\[
4a = 28 + 28
\]
\[
4a = 56
\]

Теперь разделим обе части на 4:
\[
a = \frac{56}{4}
\]
\[
a = 14
\]

Таким образом, мы получили, что \(a = 14\). Однако, у нас нет точной информации о значении \(a\) в исходном утверждении. Поэтому нельзя сказать, что утверждение верно, исходя только из предоставленных данных. Ответ: утверждение 1 неверное.

2. Если длину одной из сторон прямоугольника увеличить на 5, то и площадь этого прямоугольника увеличится на 5.

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна \(a\), а ширина равна \(b\). Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(S = a \cdot b\).

Согласно утверждению, если увеличить длину одной из сторон на 5, то получим новую длину \(a + 5\). Теперь вычислим новую площадь прямоугольника с учетом изменений:
\[
S_{\text{новая}} = (a+5) \cdot b
\]

Разность площадей будет равна:
\[
S_{\text{новая}} - S_{\text{исходная}} = (a+5) \cdot b - a \cdot b
\]

Мы должны проверить, равняется ли эта разность 5:
\[
(a+5) \cdot b - a \cdot b = 5
\]

Разложим эту разность и упростим ее:
\[
a \cdot b + 5 \cdot b - a \cdot b = 5
\]
\[
5b = 5
\]

Разделим обе части на 5:
\[
b = 1
\]

Мы получили, что ширина прямоугольника равна 1. Однако, мы не имеем информации о длине другой стороны прямоугольника. Поэтому неясно, верно ли утверждение для всех значений длины сторон. Ответ: утверждение 2 неверное.

3. Если длину одной из сторон прямоугольника уменьшить на 2, а вторую - на 5, то периметр прямоугольника уменьшится на 10.

Изначально периметр прямоугольника с длиной стороны \(a\) и шириной \(b\) равен \(2a + 2b\).

Если уменьшить длину одной стороны на 2, а вторую - на 5, то получим новый периметр:
\[
2(a - 2) + 2(b - 5) = 2a - 4 + 2b - 10 = 2a + 2b - 14
\]

Утверждение говорит, что новый периметр уменьшится на 10, то есть:
\[
2a + 2b - 14 = 2a + 2b - 10
\]

Это уравнение неправильно, так как слева и справа нет различий. Значит, новый периметр не уменьшится на 10. Ответ: утверждение 3 неверное.

4. Если длину одной из сторон прямоугольника увеличить в 3 раза, а длину второй – в 5 раз, то площадь прямоугольника увеличится в 15 раз.

Пусть длина одной стороны равна \(a\), а длина второй стороны равна \(b\). Площадь прямоугольника равна \(S = a \cdot b\).

Согласно утверждению, если увеличить длину одной стороны в 3 раза, а длину второй - в 5 раз, то получим новую площадь:
\[
S_{\text{новая}} = (3a) \cdot (5b) = 15ab
\]

Выражение \(15ab\) является новой площадью, а исходная площадь равна \(S_{\text{исходная}} = a \cdot b\). Вопрос состоит в том, равняется ли новая площадь 15 разам исходной площади:
\[
S_{\text{новая}} = 15 \cdot S_{\text{исходная}}
\]

По определению:
\[
15ab = 15(a \cdot b)
\]

Это утверждение истинно, так как новая площадь равна 15 исходным. Ответ: утверждение 4 верное.

5. Если длину стороны квадрата уменьшить в 11 раз, то площадь тоже уменьшится в 11 раз.

Пусть сторона исходного квадрата равна \(a\), а его площадь равна \(S = a^2\).

Согласно утверждению, если уменьшить длину стороны в 11 раз, то \(a\) превратится в \(\frac{a}{11}\).

Теперь вычислим новую площадь квадрата:
\[
S_{\text{новая}} = \left( \frac{a}{11} \right)^2 = \frac{a^2}{121}
\]

Отношение новой площади к исходной площади:
\[
\frac{S_{\text{новая}}}{S_{\text{исходная}}} = \frac{\frac{a^2}{121}}{a^2} = \frac{1}{121}
\]

Получается, что новая площадь равна \( \frac{1}{121} \) от исходной площади. Утверждение верно. Ответ: утверждение 5 верное.

В результате, утверждения 1, 2 и 3 являются неверными, а утверждения 4 и 5 верны.