Определите, в каких градусах находится угол φ=argz, если z=−√3+i и −180°

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

У нас дано, что комплексное число \( z = -\sqrt{3} + i \) и угол \( \varphi = \arg(z) = -180^\circ \).

1. Сначала посмотрим на геометрическую интерпретацию комплексного числа \( z \). Для этого нарисуем комплексную плоскость и отметим точку \( z \):

\[
\begin{array}{c}
\\
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0) node[below] {Re};
\draw[thick,->] (0,-2) -- (0,2) node[left] {Im};
\draw[thick,red,->] (0,0) -- ({-sqrt(3)},1) node[right] {z};
\node at ({-sqrt(3)},-0.5) {-\sqrt{3}};
\node at (-0.5,1) {i};
\end{tikzpicture}
\\
\end{array}
\]

2. Чтобы определить угол \( \varphi \), нам нужно выразить комплексное число \( z \) в тригонометрической форме, используя модуль и аргумент:

\[
z = \sqrt{{\text{Re}}^2 + {\text{Im}}^2} \cdot \left(\cos(\arg(z)) + i\sin(\arg(z))\right)
\]

Выражая \( z \) в нашем случае:

\[
-\sqrt{3} + i = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} \cdot \left(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\right)
\]

3. Применим формулу для модуля комплексного числа:

\[
|z| = \sqrt{{\text{Re}}^2 + {\text{Im}}^2}
\]

В нашем случае:

\[
|-\sqrt{3} + i| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2
\]

4. Теперь рассмотрим соотношение между углом и комплексным числом:

\[
\arg(z) = \arctan\left(\frac{{\text{Im}}}{{\text{Re}}}\right)
\]

В нашем случае:

\[
\arg(-\sqrt{3} + i) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\]

5. Поскольку нам дано, что \( \varphi = -180^\circ \), то мы ищем решение в пределах от -180° до 180°.

\[
\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx -30^\circ
\]

Таким образом, угол \( \varphi \) равен приблизительно -30°.

Мы решили задачу, определив угол \( \varphi \), используя геометрическую интерпретацию комплексного числа и формулы для модуля и аргумента.