Определите расстояние между аэростатом и камнем в момент достижения последним верхней точки траектории, когда аэростат

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо учесть движение аэростата и камня.

Обозначим время, прошедшее с момента броска камня, как $t$. Также обозначим начальную высоту аэростата и камня как $h_0$.

Поскольку аэростат движется вертикально вниз со скоростью 5 м/с, его вертикальная координата будет изменяться по отношению к земле как $H_1=h_0-5t$.

Камень брошен вертикально вверх со скоростью 30 м/с относительно земли. Поэтому его вертикальная координата будет изменяться как $H_2=h_0+30t-\frac{g{t}^2}{2}$, где $g$ это ускорение свободного падения (принимаем $g=9.8{\text{м/с}}^2$).

Теперь найдём момент времени, когда камень достигнет своей максимальной высоты. Чтобы сделать это, приравняем производную $H_2$ по времени к нулю и решим уравнение:

$$\frac{d{H}_2}{dt}=30-gt=0$$

Отсюда получаем $t=\frac{30}{g}$.

Подставляя этот момент времени в выражение для $H_2$, найдём максимальную высоту, достигнутую камнем:

$$H_{\text{макс}}=h_0+30\cdot \frac{30}{g}-\frac{g{\left(\frac{30}{g}\right)}^2}{2}$$

Упростим это выражение:

$$H_{\text{макс}}=h_0+900-\frac{(30{)}^2}{2g}=h_0+900-\frac{900}{g}$$

Теперь найдём расстояние между аэростатом и камнем в момент достижения последним верхней точки траектории. Для этого вычислим разность $|H_{\text{макс}}-H_1|$:

$$|H_{\text{макс}}-H_1|=|h_0+900-\frac{900}{g}-(h_0-5\cdot \frac{30}{g})|$$

В итоге:

$$|H_{\text{макс}}-H_1|=|900-\frac{900}{g}+\frac{150}{g}|=|900-\frac{750}{g}|$$

Таким образом, расстояние между аэростатом и камнем в момент достижения последним верхней точки траектории будет равно $|900-\frac{750}{g}|$ метров.

Ответ на вопрос о максимальном расстоянии между телами: да, это расстояние будет максимальным, так как после достижения верхней точки траектории камень начнет падать вниз под действием силы тяжести, а аэростат будет продолжать двигаться вниз.