Определите расстояние между аэростатом и камнем в момент достижения последним верхней точки траектории, когда аэростат

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо учесть движение аэростата и камня.

Обозначим время, прошедшее с момента броска камня, как \(t\). Также обозначим начальную высоту аэростата и камня как \(h_0\).

Поскольку аэростат движется вертикально вниз со скоростью 5 м/с, его вертикальная координата будет изменяться по отношению к земле как \(H_1 = h_0 - 5t\).

Камень брошен вертикально вверх со скоростью 30 м/с относительно земли. Поэтому его вертикальная координата будет изменяться как \(H_2 = h_0 + 30t - \frac{gt^2}{2}\), где \(g\) это ускорение свободного падения (принимаем \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\)).

Теперь найдём момент времени, когда камень достигнет своей максимальной высоты. Чтобы сделать это, приравняем производную \(H_2\) по времени к нулю и решим уравнение:

\[\frac{dH_2}{dt} = 30 - gt = 0\]

Отсюда получаем \(t = \frac{30}{g}\).

Подставляя этот момент времени в выражение для \(H_2\), найдём максимальную высоту, достигнутую камнем:

\[H_{\text{макс}} = h_0 + 30 \cdot \frac{30}{g} - \frac{g\left(\frac{30}{g}\right)^2}{2}\]

Упростим это выражение:

\[H_{\text{макс}} = h_0 + 900 - \frac{(30)^2}{2g} = h_0 + 900 - \frac{900}{g}\]

Теперь найдём расстояние между аэростатом и камнем в момент достижения последним верхней точки траектории. Для этого вычислим разность \(|H_{\text{макс}} - H_1|\):

\[|H_{\text{макс}} - H_1| = \left|h_0 + 900 - \frac{900}{g} - (h_0 - 5 \cdot \frac{30}{g})\right|\]

В итоге:

\[|H_{\text{макс}} - H_1| = \left|900 - \frac{900}{g} + \frac{150}{g}\right| = \left|900 - \frac{750}{g}\right|\]

Таким образом, расстояние между аэростатом и камнем в момент достижения последним верхней точки траектории будет равно \(\left|900 - \frac{750}{g}\right|\) метров.

Ответ на вопрос о максимальном расстоянии между телами: да, это расстояние будет максимальным, так как после достижения верхней точки траектории камень начнет падать вниз под действием силы тяжести, а аэростат будет продолжать двигаться вниз.