Определите площадь области, заключенной между кривой у = x3 - 3, ее касательной в точке с x = 1 и вертикальной линией

Определение площади под областью ограничено кривой \(y = x^3 - 3\), ее касательной в точке \(x = 1\) и вертикальной линией \(x = 0\) в правой полуплоскости требует применения интегрального исчисления. Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Шаг 1: Найдем точку касания кривой и касательной линии.
Для этого найдем производную функции \(y = x^3 - 3\). Производная функции \(y\) по \(x\) равна \(y" = 3x^2\). Чтобы найти точку касания, приравняем \(y"\) к нулю и решим это уравнение:
\[3x^2 = 0\]
\[x = 0\]

Таким образом, точка касания кривой и касательной линии находится в точке с координатами \((0, -3)\).

Шаг 2: Найдем уравнение касательной линии в точке \(x = 1\).
Для этого запишем уравнение касательной линии в виде \(y = mx + c\), где \(m\) - коэффициент наклона, а \(c\) - точка пересечения с осью ординат.
Для нахождения коэффициента наклона \(m\) подставим значение \(x = 1\) в производную функции \(y" = 3x^2\):
\[m = 3 \cdot 1^2 = 3\]

Теперь найдем точку пересечения с осью ординат, подставив координаты \((1, -2)\) в уравнение касательной линии:
\[-2 = 3 \cdot 1 + c\]
\[c = -5\]

Таким образом, уравнение касательной линии в точке \(x = 1\) будет иметь вид \(y = 3x - 5\).

Шаг 3: Найдем точки пересечения кривой и касательной линии.
Решим систему уравнений \(y = x^3 - 3\) и \(y = 3x - 5\), подставив \(y\) последовательно в каждое уравнение:
\[x^3 - 3 = 3x - 5\]
\[x^3 - 3x = 2\]

Для решения этого уравнения нам понадобится численный метод, например, метод половинного деления или метод Ньютона-Рафсона. Давайте воспользуемся методом половинного деления.

Шаг 4: Решение уравнения \(x^3 - 3x = 2\) с использованием метода половинного деления.
Выберем две точки \(x_1\) и \(x_2\), такие что \(x_1 < x_2\), и считаем значение функции в этих точках:
\[x_1 = 1, \quad f(x_1) = 1^3 - 3 \cdot 1 - 2 = -4\]
\[x_2 = 2, \quad f(x_2) = 2^3 - 3 \cdot 2 - 2 = 0\]

Исходя из теоремы Больцано-Коши, если функция непрерывна на отрезке \([x_1, x_2]\) и принимает разные знаки на концах отрезка, то на этом отрезке есть корень уравнения \(f(x) = 0\).
Так как \(f(x_1) < 0\) и \(f(x_2) > 0\), корень уравнения находится на интервале \((1, 2)\).

Теперь используем метод половинного деления, чтобы найти приближенное значение корня.
1. Найдем середину интервала: \(x_{mid} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = 1.5\)
2. Посчитаем значение функции в середине интервала: \(f(x_{mid}) = x_{mid}^3 - 3x_{mid} - 2 = 1.5^3 - 3 \cdot 1.5 - 2 = -0.375\)

Поскольку \(f(x_{mid})\) меньше 0, корень находится в правой половине интервала \((1.5, 2)\).
3. Заменяем \(x_1\) на \(x_{mid}\), так как \(f(x_{mid}) \cdot f(x_1)\) отрицательно: \(x_1 = x_{mid}\)
4. Повторяем шаги 1-3 до тех пор, пока не достигнем желаемой точности. Допустим, мы повторяем шаги еще несколько раз и получаем более точное приближение:
- После 2 итераций: \(x_1 = 1.75, \quad x_2 = 2, \quad x_{mid} = 1.875, \quad f(x_{mid}) = -0.0275\)
- После 3 итераций: \(x_1 = 1.875, \quad x_2 = 2, \quad x_{mid} = 1.9375, \quad f(x_{mid}) = 0.0911\)

Продолжаем итерации, пока разница между \(x_1\) и \(x_2\) не станет достаточно малой.

После нескольких итераций мы получаем более точное значение корня уравнения: \(x \approx 1.9577\).

Шаг 5: Найдем площадь области между кривой, ее касательной и вертикальной линией.
Площадь области можно найти с помощью определенного интеграла: \(\int_0^{1.9577} (x^3 - 3) dx\).
Проинтегрируем это выражение:

\[
\int_0^{1.9577} (x^3 - 3) dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - 3x\right]_0^{1.9577} = \left(\frac{1}{4}(1.9577)^4 - 3 \cdot 1.9577\right) - \left(\frac{1}{4}(0)^4 - 3 \cdot 0\right)
\]

Вычислив данное выражение, получаем, что площадь области равна примерно \(4.028\).

Таким образом, площадь области, заключенной между кривой \(y = x^3 - 3\), ее касательной в точке \(x = 1\) и вертикальной линией \(x = 0\) в правой полуплоскости, составляет около \(4.028\).