Определите, какая доля объема k будет погружена, если деревянный брусок будет помещен в сосуд с водой. Известно

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать понятие плавучести и зависимость объема погруженной части от плотности вещества.

Для начала, выразим объем погруженной части дизельного топлива через его плотность. Для этого воспользуемся формулой плавучести:

$$V_1={\displaystyle \frac{m}{{\rho }_2}}$$

где $V_1$ - объем погруженной части, $m$ - масса погруженной части, ${\rho }_2$ - плотность дизельного топлива.

Далее, выразим массу погруженной части через объем погруженной части и плотность дизельного топлива:

$$m=V_1\cdot {\rho }_2$$

Теперь рассмотрим сосуд с водой. Поскольку деревянный брусок идеально плавает в воде, то объем погруженной части деревянного бруска будет равен его объему. Обозначим этот объем как $V_2$.

Таким образом, масса деревянного бруска будет равна:

$$m=V_2\cdot {\rho }_1$$

где ${\rho }_1$ - плотность дерева.

Так как система находится в равновесии, то сумма сил, действующих на систему, равна нулю. Сила Архимеда равна весу погруженной в жидкость части вещества:

$$F_A=m\cdot g=V_1\cdot {\rho }_2\cdot g$$

А также:

$$F_A=V_2\cdot {\rho }_1\cdot g$$

где $g$ - ускорение свободного падения.

Итак, приравнивая эти два выражения, получаем:

$$V_1\cdot {\rho }_2\cdot g=V_2\cdot {\rho }_1\cdot g$$

Замечаем, что $g$ сокращается. Теперь можем выразить объем погруженной части дизельного топлива через плотности воды и дизельного топлива:

$$V_1={\displaystyle \frac{V_2\cdot {\rho }_1}{{\rho }_2}}$$

Дано, что объем погруженной части дизельного топлива составляет 0,8 от его объема. Значит,

$$V_1=0,8\cdot V_2$$

Подставляем выражение для $V_1$:

$$0,8\cdot V_2={\displaystyle \frac{V_2\cdot {\rho }_1}{{\rho }_2}}$$

Умножаем обе части уравнения на ${\rho }_2$:

$$0,8\cdot V_2\cdot {\rho }_2=V_2\cdot {\rho }_1$$

Сокращаем $V_2$:

$$0,8\cdot {\rho }_2={\rho }_1$$

Теперь, чтобы найти долю объема $k$, которая будет погружена в воду, нам нужно выразить $k$ через ${\rho }_1$.

Формула для доли объема выглядит следующим образом:

$$k={\displaystyle \frac{V_2-V_1}{V_2}}$$

Замечаем, что $V_1=0,8\cdot V_2$, поэтому:

$$k={\displaystyle \frac{V_2-0,8\cdot V_2}{V_2}}={\displaystyle \frac{0,2\cdot V_2}{V_2}}=0,2$$

Теперь представим ответ в процентах. Умножаем $k$ на 100:

$$k_{\text{в процентах}}=0,2\cdot 100\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$$

Итак, доля объема $k$, которая будет погружена в воду, составляет 20%.