Определите характер монотонности функции y=6cosx+sin5x−12x, запишите производную данной функции. Найдите корни

Для того чтобы определить характер монотонности функции \( y = 6\cos(x) + \sin(5x) - 12x \), мы должны найти производную этой функции. Производная функции позволяет нам узнать, как меняется функция относительно переменной \( x \).

Для начала, давайте найдем производную каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

1) Производная слагаемого \( 6\cos(x) \):
Производная функции \( \cos(x) \) равна \( -\sin(x) \), поэтому производная слагаемого \( 6\cos(x) \) будет \( -6\sin(x) \).

2) Производная слагаемого \( \sin(5x) \):
Производная функции \( \sin(5x) \) равна \( 5\cos(5x) \), поэтому производная слагаемого \( \sin(5x) \) будет \( 5\cos(5x) \).

3) Производная слагаемого \( -12x \):
Производная функции \( -12x \) равна \( -12 \), так как производная постоянной равна нулю.

Теперь сложим результаты производных каждого слагаемого:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -6\sin(x) + 5\cos(5x) - 12
\]

Это является производной функции \( y \) относительно \( x \).

Теперь давайте найдем корни уравнения: \( 6\cos(x) + \sin(5x) - 12x = x^3 + 6 \). Для этого приравняем уравнение к нулю и решим его:
\[
6\cos(x) + \sin(5x) - 12x = x^3 + 6
\]
\[
6\cos(x) + \sin(5x) - 12x - x^3 - 6 = 0
\]

К сожалению, уравнение данной функции не имеет аналитического решения. Оно может быть решено только численными методами, такими как метод бисекции, метод Ньютона или метод секущих.

Надеюсь, данное пояснение и решение помогли вам понять задачу и все ее аспекты. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!