Определить, есть ли последовательность, которая имеет бесконечно много членов и задана формулой для n-го члена

Данная задача требует определить, существует ли бесконечная последовательность, заданная формулой для \(n\)-го члена \(b_n = 3^{n-1} \times 7^{2-n}\). Чтобы это выяснить, разберемся с формулой, рассмотрим несколько значений \(n\) и попробуем найти закономерность.

Для начала, давайте вычислим первые несколько членов последовательности:

\[b_1 = 3^{1-1} \times 7^{2-1} = 3^0 \times 7^1 = 1 \times 7 = 7,\]
\[b_2 = 3^{2-1} \times 7^{2-2} = 3^1 \times 7^0 = 3 \times 1 = 3,\]
\[b_3 = 3^{3-1} \times 7^{2-3} = 3^2 \times 7^{-1} = 9 \times \frac{1}{7} = \frac{9}{7}.\]

Теперь давайте посмотрим, как меняются значения при увеличении \(n\):

\[b_4 = 3^{4-1} \times 7^{2-4} = 3^3 \times 7^{-2} = 27 \times \frac{1}{49} = \frac{27}{49},\]
\[b_5 = 3^{5-1} \times 7^{2-5} = 3^4 \times 7^{-3} = 81 \times \frac{1}{343} = \frac{81}{343}.\]

Мы видим, что с увеличением \(n\), значения \(b_n\) становятся все меньше. Теперь давайте рассмотрим гипотезу о том, что последовательность будет иметь бесконечное количество членов. Пусть \(n_1\) и \(n_2\) – произвольные два числа, и \(n_1 < n_2\). Тогда \(b_{n_1} > b_{n_2}\), так как \(3^{n_1-1} > 3^{n_2-1}\), а \(7^{2-n_1} < 7^{2-n_2}\).

Таким образом, мы можем утверждать, что последовательность будет строго убывающей. Если последовательность была бы бесконечной, она бы не имела конечного предела, и каждый элемент последовательности можно было бы представить последним.

Однако, в данном случае, мы можем заметить, что последовательность \(b_n\) в итоге будет стремиться к нулю. При увеличении \(n\) до бесконечности, \(3^{n-1}\) стремится к бесконечности, а \(7^{2-n}\) стремится к нулю. Таким образом, \(b_n\) будет стремиться к нулю.

Таким образом, у нас нет бесконечной последовательности, заданной формулой \(b_n = 3^{n-1} \times 7^{2-n}\). Вместо этого, мы имеем \(b_n\), которая стремится к нулю при \(n\), стремящемся к бесконечности.