Окружность w1 вписана в правильный треугольник MNK. Прямая, параллельная стороне MN и касательная к окружности

Для решения данной задачи нам понадобится использовать основные свойства вписанных и касающихся окружностей в треугольнике.

Давайте вначале рассмотрим окружность w1 и треугольник MNK. Поскольку треугольник MNK является правильным, его все стороны равны, а также все углы равны 60 градусов. Рассмотрим касательную прямую, параллельную стороне MN и касающуюся окружности w1. По свойству касательных, угол, образованный касательной и хордой (стороной треугольника) в точке касания, равен углу между хордой и касательной, который равен половине центрального угла, опирающегося на данную хорду. Так как вписанный угол в правильном треугольнике равен 60 градусов, то в данном случае угол между стороной MN и касательной равен 30 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник FKE, в котором вписана окружность w2. Рассмотрим радиусы этих окружностей. По свойству вписанных окружностей, радиус окружности w1 равен расстоянию от центра окружности до стороны треугольника MNK. Радиус окружности w2 также равен расстоянию от центра окружности до стороны треугольника FKE.

Поскольку прямая, параллельная стороне MN и касательная к окружности, отсекает треугольник FKE, сторона FKE параллельна стороне MN и равна ей. Поэтому расстояние от центра окружности w2 до стороны FKE также равно расстоянию от центра окружности w1 до стороны MNK.

Таким образом, радиус окружности w1 больше радиуса окружности w2 в \(2\). Это следует из того, что расстояние от центра окружности w1 до стороны MNK в \(2\) раза больше, чем расстояние от центра окружности w2 до стороны FKE, при условии, что сторона FKE параллельна стороне MN.

Ответ: Радиус окружности w1 больше радиуса окружности w2 в \(2\) раза.