Один шарик, радиус которого втрое больше, столкнулся с другим шариком на гладкой поверхности. Определи, с точностью

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать законы сохранения импульса и энергии.

Из закона сохранения импульса следует, что сумма импульсов перед и после столкновения должна быть равна. При этом, импульс \(p\) шарика может быть определен как произведение его массы \(m\) на скорость \(v\), т.е. \(p = mv\).

Так как в задаче говорится, что шарики столкнулись на гладкой поверхности, можно предположить, что в ходе столкновения массы шариков не меняются. Таким образом, импульс каждого шарика до и после столкновения будет одинаковым.

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шарика соответственно, а \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости перед столкновением. Тогда можно записать уравнение сохранения импульса:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v"_1 + m_2 \cdot v"_2\]

где \(v"_1\) и \(v"_2\) - скорости первого и второго шарика после столкновения.

Теперь рассмотрим энергетический аспект столкновения. По закону сохранения энергии, полная кинетическая энергия системы шариков до и после столкновения должна быть одинаковой.

Кинетическая энергия шарика может быть определена как половина произведения массы на квадрат скорости \(K = \frac{1}{2}mv^2\). Таким образом, можно записать уравнение сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot {v"_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot {v"_2}^2\]

Теперь у нас есть два уравнения (уравнение сохранения импульса и уравнение сохранения энергии) с двумя неизвестными (\(v"_1\) и \(v"_2\)). Мы можем привести их к уравнению отношения ускорений \(a_1\) и \(a_2\) через массы шариков.

Ускорение, в свою очередь, можно определить как изменение скорости со временем:

\[a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\]

Так как в задаче нет информации о времени столкновения, мы не сможем определить \(a_1\) и \(a_2\) напрямую. Однако мы можем использовать связь между ускорением и скоростью для преобразования наших уравнений.

Известно, что ускорение - это производная скорости по времени:

\[a = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Мы можем записать это в виде уравнения:

\[dv = a \cdot dt\]

Подставим это в наше уравнение сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot (v_1 + a_1 \cdot dt)^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot (v_2 + a_2 \cdot dt)^2\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot (v_1^2 + 2 \cdot v_1 \cdot a_1 \cdot dt + (a_1 \cdot dt)^2) \\ + \frac{1}{2} m_2 \cdot (v_2^2 + 2 \cdot v_2 \cdot a_2 \cdot dt + (a_2 \cdot dt)^2)\]

Вычтем из обеих частей уравнения \(\frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2\), чтобы упростить его:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot 2 \cdot v_1 \cdot a_1 \cdot dt + \frac{1}{2} m_2 \cdot 2 \cdot v_2 \cdot a_2 \cdot dt + \frac{1}{2} m_1 \cdot (a_1 \cdot dt)^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot (a_2 \cdot dt)^2 = 0\]

Теперь делим обе части уравнения на \(dt^2\):

\[m_1 \cdot v_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot v_2 \cdot a_2 + \frac{1}{2} m_1 \cdot a_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot a_2^2 = 0\]

Умножим это уравнение на \(\frac{2}{m_1 + m_2}\):

\[\frac{2}{m_1 + m_2} \cdot (m_1 \cdot v_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot v_2 \cdot a_2 + \frac{1}{2} m_1 \cdot a_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot a_2^2) = 0\]

Раскроем скобки:

\[\frac{2}{m_1 + m_2} \cdot (m_1 \cdot v_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot v_2 \cdot a_2) + \frac{1}{m_1 + m_2} \cdot (m_1 \cdot a_1^2 + m_2 \cdot a_2^2) = 0\]

Так как \(\frac{1}{m_1 + m_2} \cdot (m_1 \cdot a_1^2 + m_2 \cdot a_2^2)\) равно нулю (так как массы шариков не меняются), можем упростить уравнение:

\[\frac{2}{m_1 + m_2} \cdot (m_1 \cdot v_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot v_2 \cdot a_2) = 0\]

Теперь можем выразить отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\):

\[a_1 : a_2 = -\frac{m_2 \cdot v_2}{m_1 \cdot v_1}\]

Таким образом, отношение ускорений равно \(-\frac{m_2 \cdot v_2}{m_1 \cdot v_1}\) или \(-\frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{v_2}{v_1}\).

Осталось только использовать факт, что радиус одного шарика втрое больше радиуса другого. Так как масса шарика пропорциональна его объему (\(m \propto r^3\)), можем сказать, что масса одного шарика втрое больше массы другого шарика (\(m_1 = 3m_2\)).

Подставляем это значение в выражение для отношения ускорений:

\[a_1 : a_2 = -\frac{m_2}{3m_2} \cdot \frac{v_2}{v_1} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{v_2}{v_1}\]

Таким образом, отношение ускорений равно \(-\frac{1}{3} \cdot \frac{v_2}{v_1}\).

Теперь, если известны значения радиусов или скоростей шариков, мы можем вычислить отношение ускорений. Однако, без конкретных числовых данных из условия задачи, мы не можем дать окончательный ответ.