Нужно доказать, что треугольник akd - равнобедренный в прямоугольнике abcd на рисунке 39, где bm=cn

Для доказательства того, что треугольник \(AKD\) является равнобедренным в прямоугольнике \(ABCD\), где \(BM = CN\), нам необходимо использовать данное условие и свойства прямоугольников.

Давайте рассмотрим треугольник \(AKD\). У нас есть две стороны этого треугольника - сторона \(AK\) и сторона \(AD\). Возьмем отрезок \(BM\) и проведем его параллельно стороне \(AD\), пересекая сторону \(AK\) в точке \(E\), как показано на рисунке 39.

Так как отрезок \(BM\) параллельно стороне \(AD\) и пересекает сторону \(AK\), то по свойству прямоугольников у нас получается, что \(BE = MC\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BME\). У нас есть две равные стороны - это отрезки \(BE\) и \(MC\). А также угол \(\angle BME\) является прямым, так как это свойство прямоугольников. Таким образом, треугольник \(BME\) является равнобедренным.

Теперь вернемся к треугольнику \(AKD\). Так как у нас есть равные стороны \(BE\) и \(MC\), и угол \(\angle BME\) равен прямому углу, то по свойству равнобедренных треугольников, такой треугольник имеет две равные стороны, которые являются сторонами, прилегающими к равному углу. Следовательно, треугольник \(AKD\) является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник \(AKD\) является равнобедренным в прямоугольнике \(ABCD\), при условии \(BM = CN\).

Рисунок 39:
\[
\begin{array}{c}
A---------B \\
| | \\
| | \\
| | \\
| | \\
D---------C
\end{array}
\]