Нужно доказать, что сумма векторов OA + 2OB + OC равна 4OK для произвольной точки O плоскости, где треугольник ABC

Данная задача требует нам доказать, что сумма векторов \(OA + 2OB + OC\) равна \(4OK\), где точка \(O\) является произвольной точкой на плоскости, треугольник \(ABC\) имеет среднюю линию \(MN\), параллельную \(AC\), и точка \(K\) является серединой этой линии.

Для начала, давайте рассмотрим определение вектора. Вектор - это направленный отрезок, который имеет как длину, так и направление. В нашем случае, вектор \(OA\) представляет собой отрезок с началом в точке \(O\) и концом в точке \(A\), и так далее.

Мы можем представить вектора в виде координат. Пусть точка \(O\) имеет координаты \((x_o, y_o)\), точка \(A\) имеет координаты \((x_a, y_a)\), точка \(B\) имеет координаты \((x_b, y_b)\), точка \(C\) имеет координаты \((x_c, y_c)\), и точка \(K\) имеет координаты \((x_k, y_k)\).

Теперь, рассмотрим сумму векторов \(OA + 2OB + OC\):

\[
OA + 2OB + OC = (x_a - x_o, y_a - y_o) + 2(x_b - x_o, y_b - y_o) + (x_c - x_o, y_c - y_o)
\]

Мы можем раскрыть скобки и сложить соответствующие компоненты:

\[
= (x_a - x_o, y_a - y_o) + (2x_b - 2x_o, 2y_b - 2y_o) + (x_c - x_o, y_c - y_o)
\]

\[
= (x_a + 2x_b + x_c - x_o - 2x_o - x_o, y_a + 2y_b + y_c - y_o - 2y_o - y_o)
\]

\[
= (x_a + 2x_b + x_c - 4x_o, y_a + 2y_b + y_c - 4y_o)
\]

Теперь, рассмотрим вектор \(4OK\):

\[
4OK = 4(x_k - x_o, y_k - y_o) = (4x_k - 4x_o, 4y_k - 4y_o)
\]

Мы видим, что координаты вектора \(4OK\) совпадают с координатами суммы векторов \(OA + 2OB + OC\). Таким образом, мы можем заключить, что \(OA + 2OB + OC = 4OK\) для произвольной точки \(O\) плоскости, где треугольник \(ABC\), \(MN\) является его средней линией, параллельной \(AC\), и \(K\) - середина.